Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tohoproirac

tohoproirac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:Toán Toán Toán ^^
    Tổ hợp, BĐT, Số học,Đa thức, PTH, Hình học, ...

Đã gửi 15-10-2014 - 14:26

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$


<3 Mãi mãi một tình yêu <3

:wub: bruce_h4h.gif

赵薇苏有朋


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-11-2018 - 17:07

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$

Trước hết, ta xét bài toán đơn giản hơn :

Trong tất cả các bộ số $(x_1,x_2,...,x_k)$ trong đó $k\geqslant 2$, thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}x_1=1\\x_i\in \left \{ 1,2,3 \right \},i=\overline{1,k}\\x_i\neq x_{i+1},\forall i=\overline{1,k-1} \end{matrix}\right.$

Có bao nhiêu bộ có $x_k\neq 1$ ?

 

+ Giả sử khi $k=n-3$, ta có $A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-3}\neq 1$ và $B_{n-3}$ bộ số có $x_{n-3}=1$

+ Khi $k=n-2$ :

   Từ mỗi bộ số có $x_{n-3}\neq 1$ có thể viết thêm $x_{n-2}$ để tạo ra $1$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$ và $1$ bộ số có $x_{n-2}=1$

   Và từ mỗi bộ số có $x_{n-3}=1$ có thể viết thêm $x_{n-2}$ để tạo ra $2$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$

   Vậy khi $k=n-2$, ta có $A_{n-2}=2B_{n-3}+A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$ và $B_{n-2}=A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-2}=1$

+ Khi $k=n-1$ : Lập luận tương tự,

   Khi $k=n-1$, ta có $A_{n-1}=2B_{n-2}+A_{n-2}=2B_{n-3}+3A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-1}\neq 1$ và $B_{n-1}=A_{n-2}$ bộ số có $x_{n-1}=1$

 

Ta rút ra hệ thức $A_{n-1}=2A_{n-3}+A_{n-2}$ hay $A_{n-1}-A_{n-2}-2A_{n-3}=0$

Phương trình đặc trưng tương ứng $z^2-z-2=0$ có 2 nghiệm là $\alpha =2$ và $\beta =-1$

Dễ thấy khi $k=2$ thì $A_2=2$ ; khi $k=3$ thì $A_3=2$

Đặt $A_k=u_{k-1}$, ta có $u_{k-1}=C\left ( \alpha ^{k-1}-\beta ^{k-1} \right )$

Cho $k=2\Rightarrow u_1=A_2=C(\alpha -\beta )\Rightarrow C=\frac{A_2}{\alpha -\beta }=\frac{2}{3}$

Vậy $A_k=u_{k-1}=\frac{2}{3}\left ( \alpha ^{k-1}-\beta ^{k-1} \right )$

 

Trở lại bài toán của @tohoproirac. Bài toán đó cũng tương đương bài toán vừa xét khi $k=2013$

Do đó đáp án là $A_{2013}=u_{2012}=\frac{2}{3}\left ( 2^{2012}-1 \right )$ bộ số.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh