Chủ đề này có 4 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y là các số thực dương.Tìm GTNN của:$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

[Bui Ba Anh]

Ta có kết quả sau: Với $a>0$ thì $\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \frac{2}{2+a^2}$

Áp dụng kết quả này ta có 

$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4}{y^3+(x+y^3)}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{2y}{x})^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x+y}{y})^3}}\geq \frac{2}{2+(\frac{2y}{x})^2}+\frac{4}{2+(\frac{x+y}{y})^2}=\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+(x^2+2xy+y^2)}\geq \frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+x^2+y^2+x^2+y^2}=1$

Min=$1$ khi .....

A-L:)

[understand]

  cảm ơn nhiều nha

[understand]

bạn có chuyên  đề nào về chứng minh các điểm thẳng hàng không mình đang cần gấp

[KietLW9]

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

          $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 20-04-2021 - 20:17