Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangtubatu955]

Cho $ x,y,z>0 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}} \le \sqrt{\frac{3(x+y+z)}{2}} $

[phuc_90]

Cho $ x,y,z>0 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}} \le \sqrt{\frac{3(x+y+z)}{2}} $

 

Ta sẽ chứng minh kết quả sau :

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $abc=1$ thì

 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \leq \frac{3}{2}$

 

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$ suy ra $c\leq 1$

 

Ta có :   $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

 

Khi đó  $VT \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+c}=\frac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1}{1+c}=-\frac{\left(1-\sqrt{c}\right)^3}{2\left(1+\sqrt{c}\right)\left(1+c\right)}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2}$

 

Trở lại bài toán

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

 

$VT^2 \leq \left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh

 

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\leq \frac{3}{2}$

 

Đặt $a=\frac{y}{x}   ,   b=\frac{z}{y}   ,    c=\frac{x}{z}$  thì $abc=1$  và bất đẳng thức tương đương

 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \leq \frac{3}{2}$

 

Đây chính là kết quả ta mới vừa chứng minh.

[hoangtubatu955]

Ta sẽ chứng minh kết quả sau :

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $abc=1$ thì

 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \leq \frac{3}{2}$

 

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$ suy ra $c\leq 1$

 

Ta có :   $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

 

Khi đó  $VT \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+c}=\frac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1}{1+c}=-\frac{\left(1-\sqrt{c}\right)^3}{2\left(1+\sqrt{c}\right)\left(1+c\right)}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2}$

 

Trở lại bài toán

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

 

$VT^2 \leq \left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh

 

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\leq \frac{3}{2}$

 

Đặt $a=\frac{y}{x}   ,   b=\frac{z}{y}   ,    c=\frac{x}{z}$  thì $abc=1$  và bất đẳng thức tương đương

 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \leq \frac{3}{2}$

 

Đây chính là kết quả ta mới vừa chứng minh.

đoạn đó bị ngược dấu rồi nhé! Ý tưởng có vẻ không tồi.

Nhưng hình như bất đẳng thức của mình nêu trên không đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 21-10-2014 - 20:45