Chủ đề này có 1 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR: 
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$

[nhungvienkimcuong]

Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR: 
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$

từ giả thiết ta có $pn^2>m^2$

ta xét các phương trình $\left\{\begin{matrix} pn^2=m^2+1\ \ (1)\\pn^2=m^2+2\ \ (2) \end{matrix}\right.$

từ $(1)\Rightarrow p\mid m^2+1\Rightarrow \left ( \frac{-1}{p} \right )=1\Rightarrow p\equiv 1(mod\ 4)\ (\text{vô lí})$

    $(2)\Rightarrow p\mid m^2+2\Rightarrow \left ( \frac{-2}{p} \right )=1\Rightarrow p\equiv 1,3(mod\ 8)\ (\text{vô lí})$

do đó ta có $pn^2\neq m^2+1,m^2+2$

$\Rightarrow pn^2\geq m^2+3\Rightarrow \sqrt{p}n\left[\begin{matrix} >\sqrt{p}>2=m+\frac{1}{m}(m=1)\\>\sqrt{m^2+3}>m+\frac{1}{m}(m>1) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \sqrt{p}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow \boxed{\boxed{\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-11-2015 - 20:17