Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR:
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$
CMR: $\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$
#1
Đã gửi 16-10-2014 - 18:54
- mnguyen99 và nhungvienkimcuong thích
#2
Đã gửi 16-11-2015 - 20:02
Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR:
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$
từ giả thiết ta có $pn^2>m^2$
ta xét các phương trình $\left\{\begin{matrix} pn^2=m^2+1\ \ (1)\\pn^2=m^2+2\ \ (2) \end{matrix}\right.$
từ $(1)\Rightarrow p\mid m^2+1\Rightarrow \left ( \frac{-1}{p} \right )=1\Rightarrow p\equiv 1(mod\ 4)\ (\text{vô lí})$
$(2)\Rightarrow p\mid m^2+2\Rightarrow \left ( \frac{-2}{p} \right )=1\Rightarrow p\equiv 1,3(mod\ 8)\ (\text{vô lí})$
do đó ta có $pn^2\neq m^2+1,m^2+2$
$\Rightarrow pn^2\geq m^2+3\Rightarrow \sqrt{p}n\left[\begin{matrix} >\sqrt{p}>2=m+\frac{1}{m}(m=1)\\>\sqrt{m^2+3}>m+\frac{1}{m}(m>1) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{p}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow \boxed{\boxed{\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-11-2015 - 20:17
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh