Cho các số hữu tỉ không âm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ thỏa mãn $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{n}}\in \mathbb{Q}$. Chứng minh: $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ là các số hữu tỉ
Bạn xem lại đề nha. Mình nghĩ đề chính xác là c/m $\sqrt{x_i}\epsilon Q (i=\overline{1,n})$
Ta sẽ chứng minh quy nạp.
Với n=2. Ta có: $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=q (q\epsilon Q)$
Nếu q=0 thì $\sqrt{x_1}= \sqrt{x_2}=0$ , đúng.
Nếu $q\neq 0$
$\sqrt{x_1}= q- \sqrt{x_2}$
$\Rightarrow x_1=q^2 - 2q.\sqrt{x_2}+x_2$
$\Rightarrow \sqrt{x_2}=\frac{q^2 +x_2 -x_1}{2q}\epsilon Q$
Tương tự với $x_1$.
Giả sử mệnh đề đúng với $k=n-1$, hay $(\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{x_i}\epsilon Q$
và $\sqrt{x_i}\epsilon Q(i=\overline{1,n-1}))$
Với k=n, có $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{x_i}+\sqrt{x_{n}}\epsilon Q\Rightarrow x_n\epsilon Q$
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 17-10-2014 - 12:56