Chủ đề này có 9 trả lời

[Livetolove220797]

  Đề thi Học sinh giỏi cấp trường

 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận

 Năm học: 2014-2015

 Môn Toán-Trung học phổ thông

 Thời gian làm bài: 180 phút

 

 Đề thi:

 

 Câu 1:

 Cho $x, y, z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

 $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3\left ( x+y+z \right )$

 

 Câu 2:

 Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

 $x_{1}=1$,

 $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+2015x_{n}}{2015}$, 

 với mọi số nguyên dương $n$.

 

 Hãy tìm giới hạn của dãy số $(u_{n})$ xác định bởi:

 $u_{n}=\frac{x_{1}^{2014}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2014}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2014}}{x_{n+1}}$.

 

 Câu 3:

 Cho $a$ là một số nguyên khác $0$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của số: $a^{2.6^{n}}-a^{6^{n}}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$, với $n, k$ là các số nguyên dương.

 

 Câu 4:

 Cho đường tròn tâm $O$ được chia thành $7$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô $7$ cung bằng $3$ màu xanh, đỏ và vàng. Biết rằng hai cách tô màu thu được bằng một phép quay quanh tâm $O$ được coi là giống nhau.

 

 Câu 5:

 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm là $H$. Trên cung $BC$ không chứa điểm $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $P$ sao cho $P$ không trùng với $B$ và $C$. Lấy điểm $D$ sao cho $APCD$ là hình bình hành. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $K$ lên các đường thẳng $BC$ và $AB$.

 Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của $HK$.

 

 Câu 6:

 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn:

1. $x^{2}f\left ( \frac{1}{x} \right )=f\left ( x \right )-x^{2}+1, \forall x\neq 0$.

2. $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y, \forall x, y\in \mathbb{R}$.

 

[DANH0612]

 

  Đề thi Học sinh giỏi cấp trường

 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận

 Năm học: 2014-2015

 Môn Toán-Trung học phổ thông

 Thời gian làm bài: 180 phút

 

 Đề thi:

 

 

 Câu 6:

 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn:

1. $x^{2}f\left ( \frac{1}{x} \right )=f\left ( x \right )-x^{2}+1, \forall x\neq 0$.

2. $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y, \forall x, y\in \mathbb{R}$.

 

ta có 

$2\Rightarrow y+f(x)=f(x+y)=f(y)+x\Leftrightarrow f(x)-x=f(y)-y \Rightarrow f(x)=x+a$

$1\Rightarrow x^{2}(\frac{1}{x}+a)=x+a-x^{2}+1\Leftrightarrow x+ax^{2}=x-x^{2}+a+1\rightarrow a=-1$

vậy f(x) =x-1

[Trung Gauss]

 

 

 Câu 3:

 Cho $a$ là một số nguyên khác $0$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của số: $a^{2.6^{n}}-a^{6^{n}}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$, với $n, k$ là các số nguyên dương.

 

 

   Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^{2.6^{n}}-a^{6^n}+1$. Ta có: $$a^{2.6^n}-a^{6^n}+1\equiv 0\pmod{p}\\\Rightarrow a^{6^n}(1-a^{6^n})\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow -a^{2.6^n}.a^{6^n}\equiv 1\pmod{p}\Rightarrow a^{6^{n+1}}\equiv 1\pmod{p}\Rightarrow \text{ord}_p(a)\;|\;6^{n+1}$$ Điều này chỉ xảy ra khi: $\text{ord} _p(a)\in \left\{ 2^k, 3^k, 6^k\right\}, k=\overline{1, n+1}$

  Nếu $\text{ord}_p(a)\in\left\{2^k, 3^k, 6^m\right\}, \forall k=\overline{1,n+1},\forall m=\overline{1,n}$ thì: $$a^{2.6^n}-a^{6^n}+1\equiv 1\pmod{p}, \text{mâu thuẫn}$$ Vậy, $\text{ord}_p(a)=6^{n+1}$. Áp dụng định lý Fermat, ta có: $$\text{ord}_p(a)\;|\;p-1\Rightarrow 6^{n+1}\;|\;p-1\Rightarrow p=6^{n+1}.k+1,\forall k\in \mathbb{N^*}$$

[Livetolove220797]

 

ta có 

$2\Rightarrow y+f(x)=f(x+y)=f(y)+x\Leftrightarrow f(x)-x=f(y)-y \Rightarrow f(x)=x+a$

$1\Rightarrow x^{2}(\frac{1}{x}+a)=x+a-x^{2}+1\Leftrightarrow x+ax^{2}=x-x^{2}+a+1\rightarrow a=-1$

vậy f(x) =x-1

 

 Lời giải trên của bạn suy ra $a=-1$ khi $x$ khác $-1, 0, 1$. Vậy có được không?

[DANH0612]

 Lời giải trên của bạn suy ra $a=-1$ khi $x$ khác $-1, 0, 1$. Vậy có được không?

 

mình thấy vẫn được mà , nếu bạn thế lại 2 điều kiện đóa vẫn thỏa màk

[Zaraki]

   Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^{2.6^{n}}-a^{6^n}+1$. Ta có: $$a^{2.6^n}-a^{6^n}+1\equiv 0\pmod{p}\\\Rightarrow a^{6^n}(1-a^{6^n})\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow -a^{2.6^n}.a^{6^n}\equiv 1\pmod{p}\Rightarrow a^{6^{n+1}}\equiv 1\pmod{p}\Rightarrow \text{ord}_p(a)\;|\;6^{n+1}$$ Điều này chỉ xảy ra khi: $\text{ord} _p(a)\in \left\{ 2^k, 3^k, 6^k\right\}, k=\overline{1, n+1}$

Chỗ này đâu có đúng nhỉ ? Nếu $\text{ord}_p(a)=3^k \cdot 3^q$ vẫn được mà.

Làm tiếp ý này thì ta đã có $\text{ord}_p(a)|6^{n+1}$ nên chỉ cần chứng minh $\text{ord}_p(a) \nmid 6^n$ là được. Vì nếu $\text{ord}_p(a)|6^n$ thì $p|a^{6^n}-1$ dẫn đến $p|a^{2 \cdot 6^n}$, điều này mâu thuẫn. Vậy $\text{ord}_p(a)=6^{n+1}$.

[khanghaxuan]

 

  Đề thi Học sinh giỏi cấp trường

 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận

 Năm học: 2014-2015

 Môn Toán-Trung học phổ thông

 Thời gian làm bài: 180 phút

 

 Đề thi:

 

 Câu 1:

 Cho $x, y, z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

 $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3\left ( x+y+z \right )$

 

 Câu 2:

 Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

 $x_{1}=1$,

 $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+2015x_{n}}{2015}$, 

 với mọi số nguyên dương $n$.

 

 Hãy tìm giới hạn của dãy số $(u_{n})$ xác định bởi:

 $u_{n}=\frac{x_{1}^{2014}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2014}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2014}}{x_{n+1}}$.

 

 Câu 3:

 Cho $a$ là một số nguyên khác $0$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của số: $a^{2.6^{n}}-a^{6^{n}}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$, với $n, k$ là các số nguyên dương.

 

 Câu 4:

 Cho đường tròn tâm $O$ được chia thành $7$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô $7$ cung bằng $3$ màu xanh, đỏ và vàng. Biết rằng hai cách tô màu thu được bằng một phép quay quanh tâm $O$ được coi là giống nhau.

 

 Câu 5:

 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm là $H$. Trên cung $BC$ không chứa điểm $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $P$ sao cho $P$ không trùng với $B$ và $C$. Lấy điểm $D$ sao cho $APCD$ là hình bình hành. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $K$ lên các đường thẳng $BC$ và $AB$.

 Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của $HK$.

 

 Câu 6:

 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn:

1. $x^{2}f\left ( \frac{1}{x} \right )=f\left ( x \right )-x^{2}+1, \forall x\neq 0$.

2. $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y, \forall x, y\in \mathbb{R}$.

 

Mình làm thử bài này ( không biết có đúng không    )

Trước hết ta xét hiệu sau : 

$f(x,y,z)-f(t,t,z)=xyz+\sum x^{2}+5-3(\sum x)-t^{2}.z-2t^{2}-z^{2}-5+3(2t+z)$ ( với $t=\sqrt{xy}$)(1)

Chuẩn hóa $x+y+z=3$(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : 

$f(,x,y,z)-f(t,t,z)=x^{2}+y^{2}-2t^{2}=(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow f(,x,y,z)\geq f(t,t,z)$

Ta cần chứng minh $f(t,t,z)\geq 0$

mà lại có :$f(t,t,z)=t^{2}.(3-2t)+2t^{2}+(3-2t)^{2}+5-9=-2t^{3}+9t^{2}-12t+5\geq0$

Ta có DPCM

[DangHuyNgheAn]

$Cau1.Tacobdtquenthuoc \sum x^2+2xyz+1\geq 2\sum xy=>2(\sum x^2+xyz)+1\geq (x+y+z)^2=>2(\sum x^2+xyz+5)\geq (x+y+z)^2+9\geq 6(x+y+z)=>dpcm$

[deathavailable]

 

 Câu 2:

 Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

 $x_{1}=1$,

 $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+2015x_{n}}{2015}$, 

 với mọi số nguyên dương $n$.

 

 Hãy tìm giới hạn của dãy số $(u_{n})$ xác định bởi:

 $u_{n}=\frac{x_{1}^{2014}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2014}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2014}}{x_{n+1}}$.

 

 

Chém câu còn lại vậy :3 

Có  $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+2015x_{n}}{2015}$ suy ra

 

$2015(x_{n+1}-x_n) = x^{2015}_n \leftrightarrow \frac{x^{2014}_n}{x_{n+1}}=2015(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}  )$ 

Rút gọn tổng trên ta được  $u_{n}=2015(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}})=2015(1-\frac{1}{x_{n+1}})$

 

Dễ chứng minh được $(x_n)$ tăng và $\lim_{n \to + \infty}x_n=+\infty$ do đó $lim u_n)=2015$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-10-2014 - 13:57

[Livetolove220797]

 Có ai giải câu tổ hợp một cách chặt chẽ và hoàn chỉnh cho mình được không?

 Mình cám ơn