Tìm $f:R\rightarrow R$ thoả: $f(x^3+f(y))=y+f^3(x)$ với mọi $x,y\epsilon R$
$\f(x^3+f(y))=y+f^3(x)
#2
Đã gửi 08-11-2014 - 19:31
trước tiên dễ thấy f là toàn ánh và tồn tại t để f(t)=0 thay x =y=t ta có f(t^3)=t=f(t)^3 =0 suy ra t =0
vậy f(0)=0 , cho x=0 thì có ngay f(f(y)=y với mọi y thuộc R
từ đó tay y bởi f(y) vào bài được ngay hàm cộng tính trên R
cho y=0 thì đc f(x^3)= f(x) ^3
cho x=1 y=0 thì có ngay f(1)=1 hoặc f(1)=-1
nếu f(1)=1 thì thay y=0 x bởi x +1 và sử dụng tính chất cộng tính thì có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x).=0 với mọi x>=0
từ đây suy ra f(x)=x
nếu f(1)=-1 thì thay y =0 và x bởi x+1 suy ra f(x^2)=-f^2(x) suy ra f(x) <=0 với mọi x>=0 suy ra f(x)=-x
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachuoi: 10-11-2014 - 22:56
#3
Đã gửi 16-02-2015 - 11:29
trước tiên dễ thấy f là toàn ánh và tồn tại t để f(t)=0 thay x =y=t ta có f(t^3)=t=f(t)^3 =0 suy ra t =0
vậy f(0)=0 , cho x=0 thì có ngay f(f(y)=y với mọi y thuộc R
từ đó tay y bởi f(y) vào bài được ngay hàm cộng tính trên Rcho y=0 thì đc f(x^3)= f(x) ^3
cho x=1 y=0 thì có ngay f(1)=1 hoặc f(1)=-1
nếu f(1)=1 thì thay y=0 x bởi x +1 và sử dụng tính chất cộng tính thì có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x).=0 với mọi x>=0
từ đây suy ra f(x)=x
nếu f(1)=-1 thì thay y =0 và x bởi x+1 suy ra f(x^2)=-f^2(x) suy ra f(x) <=0 với mọi x>=0 suy ra f(x)=-x
vì sao f(t^3)=t=f(t)^3 =0 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
#4
Đã gửi 18-02-2015 - 22:41
xl bạn , viết nhầm , với mọi x>=0 thì f(x)>=0 (trong trường hợp f(1)=1) từ đây sd pth cauchy thì có f(x)=x
tương tự trường hợp còn lại
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh