Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho các số thực dương $x_{1},x_{2}...,x_{n}  với  n\geqslant 3$.CMR:

A=$\frac{x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}}{x_{1}\left ( x_{2}+x_{3} \right )}$ + $\frac{x_{2}^{2}+x_{3}x_{4}}{x_{2}\left ( x_{3}+x_{4} \right )}$ +...+$\frac{x_{n-1}^{2}+x_{n}x_{1}}{x_{n-1}\left ( x_{n}+x_{1} \right )}$ + $\frac{x_{n}^{2}+x_{1}x_{2}}{x_{n}\left ( x_{1}+x_{2} \right )}$ $\geqslant$ n

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 19-10-2014 - 22:12

[DangHuyNgheAn]

Bai nay minh chungminhduoc n=3 thoi ban.

[Dung Du Duong]

Bai nay minh chungminhduoc n=3 thoi ban.

Các bạn thử xem liệu có ổn ko? 

Ta có:A + n=$\left ( \frac{x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}}{x_{1}\left ( x_{2}+x_{3} \right )}+1 \right )$+...+$\left ( \frac{x_{n}^{2}+x_{1}x_{2}}{x_{n}\left ( x_{1}+x_{2} \right )}+1 \right )$

        =$\frac{\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{1}+x_{3} \right )}{x_{1}\left ( x_{2}+x_{3} \right )}$+...+$\frac{\left ( x_{n}+x_{1} \right )\left ( x_{n}+x_{2} \right )}{x_{n}\left ( x_{1}+x_{2} \right )}$

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vì các số hạng đều dương ta có:

    A + n $\geqslant  n$\sqrt[n]{$\frac{(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})...(x_{n}+x_{2})}{x_{1}x_{2}...x_{n}$}$$ (1)

  Mặt khác ta có:

  $(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})...(x_{n}+x_{2})$$\geqslant$$2^{n}x_{1}x_{2}...x_{n}$  (2)

  Từ (1) và (2) suy ra A + n$\geqslant $2n suy ra đpcm

 Tuy nhiên dấu đẳng thức xảy ra khi

n chẵn $x_{1}=x_{3}=...=x_{n-1}và x_{2}=x_{4}=...=x_{n}$

n lẻ   $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}$

       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 28-10-2014 - 20:46