Chủ đề này có 1 trả lời

[Phanbalong]

   Cho x,y,z là 3 cạnh của tam giác . Chứng Minh Rằng 
 
 $\frac{1}{x^{2}+yz} + \frac{1}{y^{2}+xz} + \frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{x+y+z}{2xyz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 19-10-2014 - 23:55

[Dinh Xuan Hung]

Áp dụng BDT AM-GM:

$x^2+yz\geq 2x\sqrt{yz}$.DBXR khi $x^2=yz$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2+yz}\leq \frac{1}{2x\sqrt{yz}}$.

CMTT:$\frac{1}{y^2+xz}\leq \frac{1}{2y\sqrt{xz}}$.DBXR khi $y^2=xz$

$\frac{1}{z^2+xy}\leq \frac{1}{2z\sqrt{xy}}$DBXR khi $z^2=xy$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2+yz}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$.DBXR khi $x^2=yz$; $y^2=xz$; $z^2=xy$(1)

ta có BDTT $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$.DBXR khi a=b=c

Áp dụng BDT trên ta được:

$\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$.DBXR khi x=y=z(2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2+yz}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})= \frac{x+y+z}{2xyz}$.DBXR khi x=y=z