Chủ đề này có 2 trả lời

[khanhsac2000]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR:  

$A= \frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 20-10-2014 - 21:28

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR:  

$A= \frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab} \leq 1$

Bất đẳng thức phải chứng minh <=>$\frac{1}{\frac{a^2}{bc}+2}+\frac{1}{\frac{b^2}{ac}+2}+\frac{1}{\frac{c^2}{ab}+2}\leq 1$

Đặt $\frac{a^2}{bc}=x,\frac{b^2}{ac}=y,\frac{c^2}{ab}=z(x,y,z>0)=>xyz=1$

Ta có bất đẳng thức <=>$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq 1<=>x+y+z+xyz\geq 4$(bạn biến đổi tương đương ra nhé) bất đẳng thức luôn đúng

 Áp dụng cô si 4 số có:$x+y+z+xyz\geq 4\sqrt[4]{x^2y^2z^2}=4$

Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c

[LuoiHocNhatLop]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR:  

$A= \frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab} \leq 1$

Có: 
$A=\frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab}$

$2A=\frac{2bc}{a^{2}+2bc}+\frac{2ca}{b^{2}+2ca}+\frac{2ab}{c^{2}+2ab}$

$3-2A=(1-\frac{2bc}{a^{2}+2bc})+(1-\frac{2ca}{b^{2}+2ca})+(1-\frac{2ab}{c^{2}+2ab})$

    $=\frac{a^2}{a^{2}+2bc}+\frac{b^2}{b^{2}+2ca}+\frac{c^2}{c^{2}+2ab}$

    $\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^{2}+2bc+b^{2}+2ca+c^{2}+2ab}=1$ (bđt Cauchy-Swarchz)

$\Rightarrow A\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 20-10-2014 - 23:23