Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-10-2014 - 22:28

Có $3$ con chó ở $3$ đỉnh của $1$ tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Con chó ở đỉnh $A$ chạy về phía con chó đỉnh $B$, con $B$ chạy về phía con $C$, con $C$ chạy vệ phía con $A$ ( giả sử vận tốc các con chó như nhau). CMR 3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác.

 

PS: 3 con chó đều chạy cùng 1 lúc nên khi chạy tam giác sẽ nhỏ dần lại.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 28-10-2014 - 03:07

Có $3$ con chó ở $3$ đỉnh của $1$ tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Con chó ở đỉnh $A$ chạy về phía con chó đỉnh $B$, con $B$ chạy về phía con $C$, con $C$ chạy vệ phía con $A$ ( giả sử vận tốc các con chó như nhau). CMR 3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác.

 

PS: 3 con chó đều chạy cùng 1 lúc nên khi chạy tam giác sẽ nhỏ dần lại.

 

G/s bước đi đầu tiên, mỗi con chó $A,B,C$ đã đi được một bước nhỏ $\epsilon>0$ tịnh tiến về phía $B,C,A$. Lúc này toạ độ vị trí 3 con chó là $A_1,B_1,C_1$ lần lượt trên các cạnh $AB,BC,CA$. Dễ dàng cm $A_1B_1C_1$ cũng là tam giác đều độ dài cạnh là $a_1<a$ và có tâm $G_1\equiv$ tâm $G$ của $\Delta$ đều $ABC$.

 

Bước đi thứ 2, 3 con chó từ vị trí $A_1,B_1,C_1$ đi tiếp bước nhỏ $\epsilon>0$ về phía $B_1,C_1,A_1$ và ở các vị trí $A_2,B_2,C_2$ lần lượt trên các cạnh $A_1B_1,B_1C_1,C_1,A_1$. Dễ dàng cm $A_2B_2C_2$ cũng là tam giác đều độ dài cạnh là $a_2<a_1$ và có tâm $G_2\equiv G_1$.

 

Cứ tiếp tục quá trình như thế, ta thấy các tam giác $A_nB_nC_n$ luôn là các tam giác đều có độ dài cạnh nhỏ dần $0\le a_n<a_{n-1}<...<a_1<a$ và luôn có tâm trùng nhau $G_n\equiv G_{n-1}\equiv...\equiv G_1\equiv G$.

 

Ta có dãy số $\{a_n\}$ giảm dần và bị chặn dưới bởi $0$ nên hội tụ về $0$. Nên khi $n$ đủ lớn thì $\Delta A_nB_nC_n$ suy biến thành một điểm $A_n\equiv B_n\equiv C_n\equiv G_n$.

 

Để ý rằng các trọng tâm $G\equiv G_1\equiv G_2\equiv ... \equiv G_n ...$. Từ đây ta có đpcm.

Ve Hinh.png Untitled.png

Do $\Delta ABC$ đều và $AA_1=BB_1=CC_1=\epsilon$ nên suy ra $\Delta A_1B_1B=\Delta B_1C_1C=\Delta C_1A_1A$ (c.g.c)

$\Rightarrow A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1\Rightarrow \Delta A_1B_1C_1$ đều.

Ta có BDT $\Delta A_1B_1B$ : $a_1=A_1B_1<BA_1+BB_1=a$

Gọi $G$ là tâm $\Delta ABC$. Ta có $\Delta GAA_1=\Delta GBB_1=\Delta GCC_1$ (c.g.c)

$\Rightarrow GA_1=GB_1=GC_1$. Do đó $\Delta A_1B_1C_1$ có tâm $G_1\equiv$ tâm $G$ của $\Delta ABC$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 28-10-2014 - 03:59





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh