Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenhien2000]

Cho $a, b, c$ là các số không âm thỏa mãn: $a + b + c = 1007$.

   CHỨNG MINH RẰNG: $\sqrt{2014a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2014b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2014c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leq 2014\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 21-10-2014 - 22:07

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a, b, c$ là các số không âm thỏa mãn: $a + b + c = 1007$.

   CHỨNG MINH RẰNG: $A=\sqrt{2014a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2014b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2014c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leq 2014\sqrt{2}$

Ta có:$\sqrt{2014+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{2.a.(a+b+c)+\frac{b^2-bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-2bc}\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}\leq 2.1007.\sqrt{2}=2014\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 21-10-2014 - 22:50

[Lam Ba Thinh]

Ta có:$\sqrt{2014+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{2.a.(a+b+c)+\frac{b^2-bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-$$2bc$}$\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}\leq 2.1007.\sqrt{2}=2014\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1007}{3}$

Chỗ này nè đáng lẽ ra phải có 1 số = 0 nhưng vô lí nên vì vậy ta thay dấu "$\leq $" thành dấu "$<$".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 21-10-2014 - 22:48