Chủ đề này có 6 trả lời

[pmhung512]

Cho a,b>0 và a+b=1. Tìm Min của biểu thức $S=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}$

Mọi người giúp mình nhé. CẢM ƠN

 

[Lam Ba Thinh]

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 22-10-2014 - 22:18

[pmhung512]

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Cho mình hỏi lại đoạn cuối 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmhung512: 23-10-2014 - 16:25

[pmhung512]

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

$\frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}$  mình muốn hỏi lại phần này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmhung512: 23-10-2014 - 17:06

[Lam Ba Thinh]

$\frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}$  mình muốn hỏi lại phần này

Bạn sử dụng BĐT này: $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$.

[pmhung512]

Bạn có thể chứng minh BĐT này hay cho biết nó tên là gì ko?

 

Bạn sử dụng BĐT này: $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$.

[kimchitwinkle]

Bạn có thể chứng minh BĐT này hay cho biết nó tên là gì ko?

Ta CM bđt : 

          $2\left ( a^{2} +b^{2}\right )\geq \left ( a+b\right )^{2}$

  <=> $2a^{2}+2b^{2}\geq a^{2}+2ab+b^{2}$

  <=> $2a^{2}+2b^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab\geq 0$

  <=> $a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0$

  <=> $\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$ hiển nhiên đúng

Vậy bđt được cm