Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y+z}{4}\geq x$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú

Đã gửi 23-10-2014 - 11:08

Chứng minh :

1. $\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y+z}{4}\geq x$ ($x;y;z> 0$)

2. $\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}} \left ( a;b\geq 0 \right )$

3. $x^4+y^4\leq \frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\left ( x;y\neq 0 \right )$

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

5. $y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )+\frac{1}{y}\left ( x+z \right )\leqslant \frac{\left ( x+z \right )^2}{xz}$ ($0< x\leq y\leq z$)

6. $\sqrt{2x^2-2x+5}+\sqrt{2x^2-4x+4}\geq \sqrt{13}$

7. $a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\left ( a;b;c>0 \right )$

8. $x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\geq 0\left ( x;y;z\geq 0 \right )$

9. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh tam giác . $\left ( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}} \right )-\frac{a+b+c}{abc}\leq 6$

10. $\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4}{(d+a)(d^2+a^2)}\geq \frac{a+b+c+d}{4}\left ( a;b;c;d\geq 0 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 23-10-2014 - 11:09

Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#2 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 23-10-2014 - 11:42

Mình làm bài 3 nhé. BĐT tương đương với:

$x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})\leq x^{8}+y^{8}$

Xét hiệu:$x^{8}+y^{8}-x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})

=x^{8}-x^{6}y^{2}+y^{8}-y^{6}x^{2}$=$x^{6}(x^{2}-y^{2})-y^{6}(x^{2}-y^{2})$

=$(x^{6}-y^{6})(x^{2}-y^{2})=(x^{2}-y^{2})(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{2}-y^{2})$

=$(x^{2}-y^{2})^{2}(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})\geq 0$ (Bạn tự CM nha!).

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})\leq x^{8}+y^{8}$. Do đó có đpcm.


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#3 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 23-10-2014 - 16:25

Chứng minh :

 

7. $a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\left ( a;b;c>0 \right )$

 

Bài $7$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$Vp=\sqrt{abc}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})\leq \sqrt{abc}.\sqrt{3(a^3+b^3+c^3)}$

Như vậy cần C/m nốt $\sqrt{abc}\leq \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ (luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$ cho $3$ số)

BĐT được C/m

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#4 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 23-10-2014 - 16:43

8. $x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\geq 0\left ( x;y;z\geq 0 \right )$

 

Đây chính là BĐT Schur dạng $r=1$

Giải

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq 0$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow (x-y)\begin{bmatrix} x(x-z)-y(y-z) \end{bmatrix}+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Ta có $x\geq y\geq 0;x-z \geq y-z\geq 0$ $\Rightarrow x(x-z)\geq y(y-z)$

$\Rightarrow$ Đpcm

Có thể làm tương tự với TH tổng quát ! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 23-10-2014 - 16:44

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#5 baotranthaithuy

baotranthaithuy

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-10-2014 - 22:13

bài 6:

 

$\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-4x+4}$

$=\sqrt{(-x-1)^{2}+(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(-x)^{2}} \geq \sqrt{(-x-1+x-2)^{2}+(x-2-x)^{2}}=\sqrt{13}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\frac{-x-1}{x-2}=\frac{x-2}{-x} \Leftrightarrow x=2$



#6 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 23-10-2014 - 23:43

bài 6:

 

$\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-4x+4}$

$=\sqrt{(-x-1)^{2}+(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(-x)^{2}} \geq \sqrt{(-x-1+x-2)^{2}+(x-2-x)^{2}}=\sqrt{13}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\frac{-x-1}{x-2}=\frac{x-2}{-x} \Leftrightarrow x=2$

Giải đúng rồi nhưng chỗ xét dấu bằng bị sai phải là x=0,8.



#7 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 23-10-2014 - 23:48

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

 

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{ab}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Mặt khác: 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}}=2\sqrt[4]{ab}$

$\rightarrow $đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 23-10-2014 - 23:49


#8 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 24-10-2014 - 20:40

10. $A=\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4}{(d+a)(d^2+a^2)}\geq \frac{a+b+c+d}{4}\left ( a;b;c;d\geq 0 \right )$

$B=\frac{b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{c^4}{(c+b)(c^2+b^2)}+\frac{d^4}{(d+c)(d^2+c^2)}+\frac{a^4}{(a+d)(a^2+d^2)}$

Xét $A-B=\frac{a^4-b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4-c^4}{(b+c)(b^4+c^4)}+\frac{c^4-d^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4-a^4}{(d+a)(d^2+a^2)}=a-b+b-c+c-a=0$
Vậy $A=B.$
$\Rightarrow 2A=\frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+...+\frac{d^4+a^4}{(a+d)(d^2+a^2)}$
Áp dụng 2 lần bất đẳng thức dạng: $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$(x,y dương) ta được đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh