Chủ đề này có 7 trả lời

[huy2403exo]

Chứng minh :

1. $\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y+z}{4}\geq x$ ($x;y;z> 0$)

2. $\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}} \left ( a;b\geq 0 \right )$

3. $x^4+y^4\leq \frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\left ( x;y\neq 0 \right )$

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

5. $y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )+\frac{1}{y}\left ( x+z \right )\leqslant \frac{\left ( x+z \right )^2}{xz}$ ($0< x\leq y\leq z$)

6. $\sqrt{2x^2-2x+5}+\sqrt{2x^2-4x+4}\geq \sqrt{13}$

7. $a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\left ( a;b;c>0 \right )$

8. $x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\geq 0\left ( x;y;z\geq 0 \right )$

9. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh tam giác . $\left ( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}} \right )-\frac{a+b+c}{abc}\leq 6$

10. $\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4}{(d+a)(d^2+a^2)}\geq \frac{a+b+c+d}{4}\left ( a;b;c;d\geq 0 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 23-10-2014 - 11:09

[O0NgocDuy0O]

Mình làm bài 3 nhé. BĐT tương đương với:

$x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})\leq x^{8}+y^{8}$

Xét hiệu:$x^{8}+y^{8}-x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})

=x^{8}-x^{6}y^{2}+y^{8}-y^{6}x^{2}$=$x^{6}(x^{2}-y^{2})-y^{6}(x^{2}-y^{2})$

=$(x^{6}-y^{6})(x^{2}-y^{2})=(x^{2}-y^{2})(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{2}-y^{2})$

=$(x^{2}-y^{2})^{2}(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})\geq 0$ (Bạn tự CM nha!).

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{4}+y^{4})\leq x^{8}+y^{8}$. Do đó có đpcm.

[nguyenhongsonk612]

Chứng minh :

 

7. $a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\left ( a;b;c>0 \right )$

 

Bài $7$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$Vp=\sqrt{abc}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})\leq \sqrt{abc}.\sqrt{3(a^3+b^3+c^3)}$

Như vậy cần C/m nốt $\sqrt{abc}\leq \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ (luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$ cho $3$ số)

BĐT được C/m

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

[nguyenhongsonk612]

8. $x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\geq 0\left ( x;y;z\geq 0 \right )$

 

Đây chính là BĐT Schur dạng $r=1$

Giải

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq 0$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow (x-y)\begin{bmatrix} x(x-z)-y(y-z) \end{bmatrix}+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Ta có $x\geq y\geq 0;x-z \geq y-z\geq 0$ $\Rightarrow x(x-z)\geq y(y-z)$

$\Rightarrow$ Đpcm

Có thể làm tương tự với TH tổng quát ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 23-10-2014 - 16:44

[baotranthaithuy]

bài 6:

 

$\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-4x+4}$

$=\sqrt{(-x-1)^{2}+(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(-x)^{2}} \geq \sqrt{(-x-1+x-2)^{2}+(x-2-x)^{2}}=\sqrt{13}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\frac{-x-1}{x-2}=\frac{x-2}{-x} \Leftrightarrow x=2$

[Lam Ba Thinh]

bài 6:

 

$\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-4x+4}$

$=\sqrt{(-x-1)^{2}+(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(-x)^{2}} \geq \sqrt{(-x-1+x-2)^{2}+(x-2-x)^{2}}=\sqrt{13}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\frac{-x-1}{x-2}=\frac{x-2}{-x} \Leftrightarrow x=2$

Giải đúng rồi nhưng chỗ xét dấu bằng bị sai phải là x=0,8.

[Lam Ba Thinh]

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

 

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{ab}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Mặt khác: 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}}=2\sqrt[4]{ab}$

$\rightarrow $đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 23-10-2014 - 23:49

[binhnhaukhong]

10. $A=\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4}{(d+a)(d^2+a^2)}\geq \frac{a+b+c+d}{4}\left ( a;b;c;d\geq 0 \right )$

$B=\frac{b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{c^4}{(c+b)(c^2+b^2)}+\frac{d^4}{(d+c)(d^2+c^2)}+\frac{a^4}{(a+d)(a^2+d^2)}$

Xét $A-B=\frac{a^4-b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4-c^4}{(b+c)(b^4+c^4)}+\frac{c^4-d^4}{(c+d)(c^2+d^2)}+\frac{d^4-a^4}{(d+a)(d^2+a^2)}=a-b+b-c+c-a=0$

Vậy $A=B.$

$\Rightarrow 2A=\frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+...+\frac{d^4+a^4}{(a+d)(d^2+a^2)}$

Áp dụng 2 lần bất đẳng thức dạng: $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$(x,y dương) ta được đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$