Chủ đề này có 2 trả lời

[19kvh97]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $P(x^2)=P(x).P(x+2)$

[hoangtubatu955]

Đầu tiền xét $P(x)$ là hàm hằng thì $P(x) \equiv 0 hoặc 1$
Tiếp theo, xét $P(x)$ khác hằng, khi đó với. Cho $x=1$ vào giả thiết ta có: $P(1).P(3)=P(1)$.
Từ đây nếu mà $P(3)=0$ thì thay $x=3$ ta lại có $P(9)=0$ quy nạp thì $P(3^n)=0$, nói cách khác $P(x) \equiv 0$, vô lý với trường hợp đang xét.
Vậy phải có $P(1)=0$
Đặt $P(x)=(x-1)^n.Q(x)$ trong đó $Q(1)$ khác 0.
Lúc này thay vào giả thiết ta lại có: $Q(x).Q(x+2)=Q(x^2)$
Từ đây, bằng cách lập luận tương tự ta thu được $Q$ là hàm đồng nhất 1.
Vậy $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^n$

[nguyentatthu]

Đầu tiền xét $P(x)$ là hàm hằng thì $P(x) \equiv 0 hoặc 1$
Tiếp theo, xét $P(x)$ khác hằng, khi đó với. Cho $x=1$ vào giả thiết ta có: $P(1).P(3)=P(1)$.
Từ đây nếu mà $P(3)=0$ thì thay $x=3$ ta lại có $P(9)=0$ quy nạp thì $P(3^n)=0$, nói cách khác $P(x) \equiv 0$, vô lý với trường hợp đang xét.
Vậy phải có $P(1)=0$
Đặt $P(x)=(x-1)^n.Q(x)$ trong đó $Q(1)$ khác 0.
Lúc này thay vào giả thiết ta lại có: $Q(x).Q(x+2)=Q(x^2)$
Từ đây, bằng cách lập luận tương tự ta thu được $Q$ là hàm đồng nhất 1.
Vậy $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^n$

Sao lại xét $P(3)=0$? Phải là $P(3)=1$ mới đúng chứ nhỉ?