Chủ đề này có 9 trả lời

[vanhieu9779]

Cho các số thực $a,b,c\geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\leq 216$

[NgocHieuKHTN]

Áp dụng bất đẳng thức HOLDER ta có 

$\prod (a^{2}+2)=\prod ((\sqrt[3]{a^{2}})^{3}+1^{3}+1^{3})\leq (\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+1.1.1+1.1.1)^{3}$

đến đây có lẽ đánh giá tích abc theo a+b+c=6 được rồi chứ nhỉ !!

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức HOLDER ta có 

$\prod (a^{2}+2)=\prod ((\sqrt[3]{a^{2}})^{3}+1^{3}+1^{3})\leq (\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+1.1.1+1.1.1)^{3}$

đến đây có lẽ đánh giá tích abc theo a+b+c=6 được rồi chứ nhỉ !!

 

Ngược chiều BDT rồi                                                                  .

[vanhieu9779]

Ngược chiều BDT rồi                                                                  .

sao ngược? Theo AM-GM thì 6=a+b+c $\geq 3\sqrt[3]{abc}$$\Rightarrow abc\leq 8$

[dogsteven]

sao ngược? Theo AM-GM thì 6=a+b+c $\geq 3\sqrt[3]{abc}$$\Rightarrow abc\leq 8$

 

Cái BDT Holder ý, $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant (\sqrt[3]{abc}^2+1+1)^3$

[vanhieu9779]

Cái BDT Holder ý, $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant (\sqrt[3]{abc}^2+1+1)^3$

BĐT này t k biết. chưa làm quen nhiều

[NgocHieuKHTN]

có lẽ sai rồi ,=)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 25-10-2014 - 06:49

[dogsteven]

Giả sử $c \geqslant b\geqslant a \Rightarrow c \geqslant 2; a \leqslant 2$

$(b^2+2)(c^2+2) - \left [\dfrac{(b+c)^2}{4}+2 \right ]^2 = \dfrac{-(b-c)^2}{16}(b^2+c^2+6bc-16)$

 

$b^2+6bc+c^2-16 \geqslant c^2+6c-15 \geqslant 1 >0$

 

Vì vậy mà $(b^2+2)(c^2+2) \leqslant \left [\dfrac{(b+c)^2}{4}+2 \right ]^2$

 

$2t=b+c \Rightarrow t \in \left[2; \dfrac{5}{2} \right ]$

 

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leqslant (a^2+2)(t^2+2)^2 = [(6-2t)^2+2](t^2+2)^2 = 2(t-2)^2(2t^4-4t^3+3t^2-20t-8) +216$

 

$f(t)=2t^4-4t^3+3t^2-20t-8$

 

$f'(t)=8t^3-12t^2+6t-20=2(t-2)(4t^2+2t+7) + 8 > 0 \Rightarrow f(t)  \leqslant f\left ( \dfrac{5}{2} \right ) < 0$

 

Vì vậy mà $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leqslant 216$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-10-2014 - 16:42

[vuliem1987]

Giả sử $c \geqslant b\geqslant a \Rightarrow c \geqslant 2; a \leqslant 2$

$(b^2+2)(c^2+2) - \left [\dfrac{(b+c)^2}{4}+2 \right ]^2 = \dfrac{-(b-c)^2}{16}(b^2+c^2+6bc-16)$

 

$b^2+6bc+c^2-16 \geqslant c^2+6c-15 \geqslant 1 >0$

 

Vì vậy mà $(b^2+2)(c^2+2) \leqslant \left [\dfrac{(b+c)^2}{4}+2 \right ]^2$

 

$2t=b+c \Rightarrow t \in \left[2; \dfrac{5}{2} \right ]$

 

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leqslant (a^2+2)(t^2+2)^2 = [(6-2t)^2+2](t^2+2)^2 = 2(t-2)^2(2t^4-4t^3+3t^2-20t-8) +216$

 

$f(t)=2t^4-4t^3+3t^2-20t-8$

 

$f'(t)=8t^3-12t^2+6t-20=2(t-2)(4t^2+2t+7) + 8 > 0 \Rightarrow f(t)  \leqslant f\left ( \dfrac{5}{2} \right ) < 0$

 

Vì vậy mà $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leqslant 216$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến của THPT để chứng minh.

Cụ thể ta chỉ ra  ln($t^{2}+2$) $\leq \ln 6-\frac{4}{3}+\frac{2t}{3}$

Dạng toán kiểu này phương pháp tiếp tuyến là mạnh nhưng ko hay bằng cách giải sơ cấp trên!

[Dung Gia]

bài   : Tìm GTNN của $P=\sum \frac{a}{b^2 +c^2}$ biết $a^2 +b^2 +c^2 =1$