Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ sao cho

$f\left( {x + y} \right) = {x^2}f\left( {{1 \over x}} \right) + {y^2}f\left( {{1 \over y}} \right)$

[Hoang Tung 126]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ sao cho

$f\left( {x + y} \right) = {x^2}f\left( {{1 \over x}} \right) + {y^2}f\left( {{1 \over y}} \right)$

-Cho $x=y= > f(2x)=2x^2f(\frac{1}{x})= > f(\frac{1}{x})=\frac{f(2x)}{2x^2}$

 

-Thay vào đề bài $= > f(x+y)=x^2.\frac{f(2x)}{2x^2}+y^2.\frac{f(2y)}{2y^2}= > f(x+y)=\frac{f(2x)}{2}+\frac{f(2y)}{2}= > 2f(x+y)=f(2x)+f(2y)$

 

-Đến đây tìm được $f(x)=ax$.

 

-Thay vào đề bài thỏa mãn

[Kool LL]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ sao cho

$f\left( {x + y} \right) = {x^2}f\left( {{1 \over x}} \right) + {y^2}f\left( {{1 \over y}} \right)$ (1)

 

(1) $\overset{y=x}{\Rightarrow} f(2x)=2x^2f\left(\frac{1}{x}\right)\ ,\ \forall x$ (2)

 

(1)(2) $\Rightarrow f(x+y)=\frac{f(2x)+f(2y)}{2}\ ,\ \forall x,y$ (3)

 

Đặt $a=f(1)$.

 

(1) $\overset{y=1}{\Rightarrow} f(x+1)=x^2f\left(\frac{1}{x}\right)+a\overset{(2)}{=}\frac{f(2x)}{2}+a,\forall x$ (4)

 

(4) $\overset{x=0}{\Rightarrow} f(0)=0$.

 

(3) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f(2x)=2.f(x),\forall x$ (5)

 

(4)(5) $\Rightarrow f(x+1)=f(x)+a,\forall x$ (6)

 

(2)(5) $\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^2},\forall x$ (7)

 

Tính bằng 2 cách khác nhau :

$a-\frac{f(x)+a}{(x+1)^2}$$\overset{(6)}{=}a-\frac{f(x+1)}{(x+1)^2}$$\overset{(7)}{=}a-f\left(\frac{1}{x+1}\right)$$\overset{(6)}{=}f\left(1-\frac{1}{x+1}\right)$$=f\left(\frac{x}{x+1}\right)$$\overset{(7)}{=}\frac{f\left(\frac{x+1}{x}\right)}{\frac{(x+1)^2}{x^2}}$$=\frac{f\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{(x+1)^2}{x^2}}$$\overset{(6)}{=}\frac{a+f\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{(x+1)^2}{x^2}}$$\overset{(7)}{=}\frac{a+\frac{f(x)}{x^2}}{\frac{(x+1)^2}{x^2}}=\frac{ax^2+f(x)}{(x+1)^2}$

$\Rightarrow f(x)=ax,\forall x$.

Thử lại thấy $f(x)=ax,\forall x$ thoả (1).

 

-------------------------------------------------------------------

NX : bài giải có phần ko hợp lí lắm khi đi tính $f(0)=0$ vì thực ra (1) chỉ thoả $\forall x,y\ne0$. Nếu đề bài cho sẵn $f(0)=0$ luôn thì hoàn chỉnh hơn.