Chủ đề này có 3 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x+y)^3+4xy\geq 2$.

 

Tìm GTNN của $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4)+\frac{9}{2}x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x+y)^3+4xy\geq 2$.

 

Tìm GTNN của $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4)+\frac{9}{2}x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

   Ta sẽ CM $A\geq \frac{9}{16}$

 

Ta có $2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2= > (x+y)^2(x+y-1)+2(x+y-1)(x+y+1)\geq 0= > (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq 0= > x+y-1\geq 0= > x+y\geq 1$

 

  $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4+2x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=\frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9}{16} < = > 36(x^2+y^2)^2-32(x^2+y^2)+7\geq 0< = > 18(x^2+y^2)(2(x^2+y^2)-1)-7(2(x^2+y^2)-1)\geq 0< = > (2x^2+2y^2-1)(18(x^2+y^2)-7)\geq 0$

 

   Nhưng bdt luôn đúng vì theo Cauchy-Swatch có :

 

    $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\geq 1$

    $18(x^2+y^2)\geq 9(x+y)^2\geq 9= > 18(x^2+y^2)-7> 0$

 

Dấu= xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

[thoai mai post bai]

   Ta sẽ CM $A\geq \frac{9}{16}$

 

Ta có $2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2= > (x+y)^2(x+y-1)+2(x+y-1)(x+y+1)\geq 0= > (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq 0= > x+y-1\geq 0= > x+y\geq 1$

 

  $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4+2x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=\frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9}{16} < = > 36(x^2+y^2)^2-32(x^2+y^2)+7\geq 0< = > 18(x^2+y^2)(2(x^2+y^2)-1)-7(2(x^2+y^2)-1)\geq 0< = > (2x^2+2y^2-1)(18(x^2+y^2)-7)\geq 0$

 

   Nhưng bdt luôn đúng vì theo Cauchy-Swatch có :

 

    $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\geq 1$

    $18(x^2+y^2)\geq 9(x+y)^2\geq 9= > 18(x^2+y^2)-7> 0$

 

Dấu= xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

 

Cho em hỏi, làm sao đánh giá được để CM $A\geq \frac{9}{16}$ vậy ạ! Cảm ơn anh.

[Hoang Tung 126]

Cho em hỏi, làm sao đánh giá được để CM $A\geq \frac{9}{16}$ vậy ạ! Cảm ơn anh.

Vì ta đã xác định được dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$