Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^n-1$ không chia hết cho $n$

sh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 25-10-2014 - 23:24

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì 

$a^n-1$ không chia hết cho $n$



#2 shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 24-02-2015 - 14:40

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì 

$a^n-1$ không chia hết cho $n$

ch: chia hết cho; kch: không chia hết cho.

Giả sử $n$ là số nguyên dương lẻ nhỏ nhất thõa mãn $a^{n}-1$ ch $n$.

Nếu $\left ( a;n \right )=f>1$ thì $a^{n}-1$ kch $f$. Suy ra $a^{n}-1$ kch $n$.

Vậy $\left ( a;n \right )=1$. Theo tiêu chuẩn Euler ta có $a^{\varphi \left ( n \right )}-1$ ch $n$.

Mặt khác $\left (a^{n}-1;a^{\varphi \left ( n \right )}-1  \right )=a^{d}-1$, với $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$.

Từ đó $a^{d}-1$ ch $n$. Nếu $d=1$ thì $a-1=2^{k}$ kch $n$ (do $n$ là số lẻ).

Vậy $d>1$. Suy ra $a^{d}-1$ ch $d$ (do $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$).

Do $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$ nên $1<d\leq \varphi \left ( n \right )<n$

Điều này vô lý với định nghĩa $n$ ban đầu.

Vậy $a^{n}-1$ kch $n$

Chú ý $\left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=a^{d}-1$, với $d=\left ( m;n \right )$

Thật vậy,

Giả sử $m>n$ và $m=qn+r$.

Ta có $\left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=\left ( a^{qn}-1+a^{qn}\left ( a^{r}-1 \right );a^{n}-1 \right )=\left ( a^{r}-1;a^{n}-1 \right )$

(do $a^{m}-1$ và $a^{n}-1$ kch $a$).

Từ đó ta có $\left ( m;n \right )=\left ( n;r \right )\Leftrightarrow \left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=\left ( a^{n}-1;a^{r}-1 \right )$.

Vậy theo thuật chia Euclide thì ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 24-02-2015 - 14:43


#3 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 03-08-2015 - 10:09

Bài này không cần quá phức tạp gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n
Suy ra p/a^n-1 đặt h =ord_a(p)
Nếu (a;p) khác 1 thì suy ra p/a suy ra ngay vô lý nên (a;p)=1
Suy ra h/(p-1)
h/n
Vậy h=1 suy ra p/ a-1 suy ra p=2 vô lý suy ra đpcm





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh