Chủ đề này có 4 trả lời

[huy2403exo]

1. Cho $a;b;c;d>0$ và $a+b+c+d$=1

Chứng minh : $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\left ( \frac{1}{d}-1 \right )\geq 81$

2. cho $a;b;c>0$ Chứng minh $\frac{2}{a^2+bc}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac} \right )$

3. Tìm GTNN của $\left ( 1+x \right )(1+y)+\left ( 1+\frac{1}{x}\right )+\left ( 1+\frac{1}{y} \right )$ biết $x;y>0$ và $x^2+y^2=1$

[Viet Hoang 99]

1. Cho $a;b;c;d>0$ và $a+b+c+d$=1

Chứng minh : $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\left ( \frac{1}{d}-1 \right )\geq 81$

 

Tổng quát bài 1:

Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\left ( \dfrac{1}{a_1}-1 \right ) \left ( \dfrac{1}{a_2}-1 \right )...\left ( \dfrac{1}{a_n}-1 \right ) \ge (n-1)^n$

 

Giải:

Có: $1-a_1=a_2+a_3+...+a_n\ge (n-1) \sqrt[n-1]{a_2a_3...a_n}$

Tương tự nhân theo vế ta có:

$(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n)\ge (n-1)^n a_1a_2...a_n$

Suy ra đpcm.

[Viet Hoang 99]

 

2. cho $a;b;c>0$ Chứng minh $\frac{2}{a^2+bc}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac} \right )$

 

2)
Giả sử $a=max \{a;b;c\}$

Có:
$\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac} \right )\ge \frac{4}{ab+ac}$

Cần c/m: $\frac{4}{ab+ac}\ge \frac{4}{a^2+bc}$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\ge 0$ (luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-10-2014 - 13:09

[hoangdang]

Câu 2 a,b,c có bình đẳng đâu mà giả sử được nhỉ ??????

[hoangdang]

2) Ta có:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}$$= \frac{b+c}{abc}\geq \frac{2\sqrt{bc}}{abc}= \frac{2}{a\sqrt{bc}}$$\geq$$\frac{2}{\frac{a^{2}+bc}{2}}= \frac{4}{a^{2}+bc}$

$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} \right )\geq \frac{1}{2}\frac{4}{a^{2}+bc}$$= \frac{2}{a^{2}+bc}$ 

Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdang: 26-10-2014 - 19:14