Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài toán : Phép đối xứng qua các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn biến đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các đường thẳng $d_1,d_2,d_3.$ Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$



#2
ChiLanA0K48

ChiLanA0K48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

Bài toán : Phép đối xứng qua các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn biến đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các đường thẳng $d_1,d_2,d_3.$ Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Gọi $A',B'$ lần lượt là giao điểm của $AH,BH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Dễ dàng chứng minh $A',B'$ là các ảnh của $H$ qua phép đối xứng qua $BC,CA$

suy ra $A',B'$ lần lượt thuộc $d_1,d_2$

Gọi $M$ là giao điểm $d_1,d_2$

Gọi $K,L$ là giao điểm đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ với $BC,CA$

Qua phép đối xứng suy ra $\angle LHB'=\angle LB'H= \angle KHB= \angle KA'B$

Suy ra Tứ giác $BA'MB'$ nội tiếp

suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Chứng minh tương tự suy ra $d_1,d_2,d_3$ đôi một cắt nhau

suy ra ba đường thẳng đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

 

P/s: hình như nó đúng với mọi đường thẳng qua trực tâm $H$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 27-10-2014 - 16:41


#3
LuoiHocNhatLop

LuoiHocNhatLop

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cách chứng minh khác có sử dụng góc định hướng:
Gọi $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$ thì $H'$ thuộc $d_1$ và $(O)$

$M$ là giao điểm $d_2$ và $d_3$
Khi đó ta có:
$(MB,MC) =(MB,MH')+(MH',MC) mod \pi$

               $= (AB,AH')+(AH',AC) mod \pi$

               $= (AB,AC)$

Suy ra $M$ thuộc $(O)$.

Mặt khác, gọi $N, P$ lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng $(d_1,d_2)$ và $(d_1,d_3)$
Thì $N, P$ cũng thuộc $(O)$

Suy ra $d_1$ cắt (O) tại $H,N,P$, chứng tỏ N và P trùng nhau.

Vậy ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 01-11-2014 - 16:38





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh