Bài toán : Phép đối xứng qua các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn biến đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các đường thẳng $d_1,d_2,d_3.$ Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
#1
Đã gửi 26-10-2014 - 11:49
#2
Đã gửi 27-10-2014 - 16:40
Bài toán : Phép đối xứng qua các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn biến đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các đường thẳng $d_1,d_2,d_3.$ Chứng minh rằng các đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Gọi $A',B'$ lần lượt là giao điểm của $AH,BH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Dễ dàng chứng minh $A',B'$ là các ảnh của $H$ qua phép đối xứng qua $BC,CA$
suy ra $A',B'$ lần lượt thuộc $d_1,d_2$
Gọi $M$ là giao điểm $d_1,d_2$
Gọi $K,L$ là giao điểm đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ với $BC,CA$
Qua phép đối xứng suy ra $\angle LHB'=\angle LB'H= \angle KHB= \angle KA'B$
Suy ra Tứ giác $BA'MB'$ nội tiếp
suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Chứng minh tương tự suy ra $d_1,d_2,d_3$ đôi một cắt nhau
suy ra ba đường thẳng đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
P/s: hình như nó đúng với mọi đường thẳng qua trực tâm $H$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 27-10-2014 - 16:41
- quanghung86 và Near Ryuzaki thích
#3
Đã gửi 01-11-2014 - 16:37
Cách chứng minh khác có sử dụng góc định hướng:
Gọi $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$ thì $H'$ thuộc $d_1$ và $(O)$
$M$ là giao điểm $d_2$ và $d_3$
Khi đó ta có:
$(MB,MC) =(MB,MH')+(MH',MC) mod \pi$
$= (AB,AH')+(AH',AC) mod \pi$
$= (AB,AC)$
Suy ra $M$ thuộc $(O)$.
Mặt khác, gọi $N, P$ lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng $(d_1,d_2)$ và $(d_1,d_3)$
Thì $N, P$ cũng thuộc $(O)$
Suy ra $d_1$ cắt (O) tại $H,N,P$, chứng tỏ N và P trùng nhau.
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 01-11-2014 - 16:38
- caybutbixanh yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh