Chủ đề này có 3 trả lời

[habayern]

Tìm tất cả các hàm số thoả:

$a)f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y \forall x,y\in \mathbb{R}$

$b) f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y\forall x,y\in \mathbb{R}$

p/s: ai có cách làm mấy bài pt hàm kiểu này chỉ em với ạ

[LuoiHocNhatLop]

a)$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$(1)

Đầu tiên ta chứng minh f đơn ánh.

Thật vậy, cố định x, giả sử  $f(y_1)=f(y_2)\Rightarrow xf(x)+f(y_1)=xf(x)+f(y_2)$

$\Rightarrow f(xf(x)+f(y_1))=f(xf(x)+f(y_1))$

$\Rightarrow f^2(x)+y_1 =f^2(x)+y_2 \Rightarrow y_1=y_2$ 

Vậy f đơn ánh. 

Mặt khác, do vế phải là hàm bậc nhất theo y nên f toàn ánh.
Suy ra f song ánh. Khi đó tồn tại duy nhất a để f(a)=0

Trong (1):
Cho x=y=a vào ta được $f(0)=a\Rightarrow f(f(0))=f(a)=0$
Cho x=y=0 ta được $f(f(0))=f^2(0)\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow a=0$
Cho x=0, ta được: $f(f(y))=y$
Thay y bởi f(f(y)), x bởi f(x) ta được:

$\Rightarrow f(f(x).f(f(x))+f(f(f(y)))=f^2(f(x))+f(f(y))$

$\Rightarrow f(xf(x)+f(y))=x^2 +y$

$\Rightarrow f^2(x)=x^2$

$\Rightarrow f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$

Thử lại thoả mãn.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 26-10-2014 - 19:12

[LuoiHocNhatLop]

b)$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$ (1)

Chứng minh được f đơn ánh.
Trong (1) cho $x=0 \Rightarrow f(f(y))=y;$

Thay $y\rightarrow f(y)\Rightarrow f(x^2+f(f(y))=xf(x)+f(y) \Rightarrow f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$ (2)
Thay x bởi f(x) vào (2) ta được: $f(f^2(x)+y)=f(x).f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$
Suy ra $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$
Ta được $f(x)= x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại thoả mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 26-10-2014 - 19:19

[Near Ryuzaki]

 

b)$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$ (1)

Chứng minh được f đơn ánh.
Trong (1) cho $x=0 \Rightarrow f(f(y))=y;$

Thay $y\rightarrow f(y)\Rightarrow f(x^2+f(f(y))=xf(x)+f(y) \Rightarrow f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$ (2)
Thay x bởi f(x) vào (2) ta được: $f(f^2(x)+y)=f(x).f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$
Suy ra $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$
Ta được $f(x)= x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại thoả mãn.

 

Hình như lời giải câu $b$ chưa hoàn thiện , ta cần phải chứng minh ngoài $f(x)=-x$ và $f(x)=x$ ra không còn nghiệm nào khác thoả bài toán . 

Chứng minh:

Giả sử tồn tại $f(x)$ là nghiệm khác với hai nghiệm trên thỏa bài toán. Khi đó $\exists a,b\neq 0 : f(a)\neq a, f(b)\neq-b.$

Từ kết quả bài toán suy ra $f(a)=-a$ và $f(b)=b$

Ta có : $$f(a^2+f(b))=af(a)+b\Rightarrow f(a^2+b)=b-a^2$$

Kết hợp với $f(a^2+b)=a^2+b$ hoặc $f(a^2+b)=-a^2-b.$ 

Cả hai trường hợp này đều ta cho ta kết quả $a,b=0$ 

Trái với điều giả sử. Từ đó ta có kết luận chỉ có duy nhất $2$ hàm số thoả đề là 

$$f(x)=-x, f(x)=x$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 26-10-2014 - 19:44