Tìm tất cả các hàm số thoả:
$a)f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y \forall x,y\in \mathbb{R}$
$b) f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y\forall x,y\in \mathbb{R}$
p/s: ai có cách làm mấy bài pt hàm kiểu này chỉ em với ạ
Tìm tất cả các hàm số thoả:
$a)f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y \forall x,y\in \mathbb{R}$
$b) f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y\forall x,y\in \mathbb{R}$
p/s: ai có cách làm mấy bài pt hàm kiểu này chỉ em với ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 26-10-2014 - 19:12
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 26-10-2014 - 19:19
b)$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$ (1)Chứng minh được f đơn ánh.
Trong (1) cho $x=0 \Rightarrow f(f(y))=y;$Thay $y\rightarrow f(y)\Rightarrow f(x^2+f(f(y))=xf(x)+f(y) \Rightarrow f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$ (2)
Thay x bởi f(x) vào (2) ta được: $f(f^2(x)+y)=f(x).f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$
Suy ra $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$
Ta được $f(x)= x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại thoả mãn.
Hình như lời giải câu $b$ chưa hoàn thiện , ta cần phải chứng minh ngoài $f(x)=-x$ và $f(x)=x$ ra không còn nghiệm nào khác thoả bài toán .
Chứng minh:
Giả sử tồn tại $f(x)$ là nghiệm khác với hai nghiệm trên thỏa bài toán. Khi đó $\exists a,b\neq 0 : f(a)\neq a, f(b)\neq-b.$
Từ kết quả bài toán suy ra $f(a)=-a$ và $f(b)=b$
Ta có : $$f(a^2+f(b))=af(a)+b\Rightarrow f(a^2+b)=b-a^2$$
Kết hợp với $f(a^2+b)=a^2+b$ hoặc $f(a^2+b)=-a^2-b.$
Cả hai trường hợp này đều ta cho ta kết quả $a,b=0$
Trái với điều giả sử. Từ đó ta có kết luận chỉ có duy nhất $2$ hàm số thoả đề là
$$f(x)=-x, f(x)=x$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 26-10-2014 - 19:44
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh