Cho a,b,c dương.CMR:$\frac{a^3b}{ab^2+1}+\frac{b^3c}{bc^2+1}+\frac{c^3a}{a^2c+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$
:$\frac{a^3b}{ab^2+1}+\frac{b^3c}{bc^2+1}+\frac{c^3a}{a^2c+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$
Bắt đầu bởi Dinh Xuan Hung, 26-10-2014 - 20:09
#1
Đã gửi 26-10-2014 - 20:09
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
#2
Đã gửi 26-10-2014 - 20:59
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c dương.CMR:$\frac{a^3b}{ab^2+1}+\frac{b^3c}{bc^2+1}+\frac{c^3a}{a^2c+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$
Chia cả 2 vế cho $abc$ ta được BĐT tương đương với
$\sum \frac{a^2}{ab^2c+c}\geqslant \frac{a+b+c}{abc+1}$
BĐT trên luôn đúng theo Cauchy-Schwarzt
$\sum \frac{a^2}{ab^2c+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2bc+ab^2c+abc^2+a+b+c}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(abc+1)}=\frac{a+b+c}{abc+1}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- hoangdang, toanc2tb, binhnhaukhong và 2 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
