Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{x}{1-x}\leq \sum \frac{x(1-y)}{y(1-x)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú

Đã gửi 27-10-2014 - 11:01

Cho các số dương $x;y;z<1$ biết $x+y+z=\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng : $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z}\leq \frac{x(1-y)}{y(1-x)}+\frac{y(1-z)}{z(1-y)}+\frac{z(1-x)}{x(1-z)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 27-10-2014 - 11:05

Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#2 nukata123

nukata123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán,nhạc,thể thao

Đã gửi 27-10-2014 - 18:24

BĐT cần cm tương đương

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

Thật vậy, áp dụng BĐT Chebyshev vs 2 dãy số tăng ( $\frac{1}{y};\frac{1}{z};\frac{1}{x}$ ) và $(\frac{x}{1-x};\frac{y}{1-y};\frac{z}{1-z})$ ta có :

$\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z})(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

Lại có $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{y+z+x}= \frac{9}{\frac{3}{2}}= 6$

Do đó 

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}\times 6(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})\Rightarrow$ ĐPCM.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$



#3 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 27-10-2014 - 20:56

BĐT cần cm tương đương

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

Thật vậy, áp dụng BĐT Chebyshev vs 2 dãy số tăng ( $\frac{1}{y};\frac{1}{z};\frac{1}{x}$ ) và $(\frac{x}{1-x};\frac{y}{1-y};\frac{z}{1-z})$ ta có :

$\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}$$\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z})(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

Lại có $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{y+z+x}= \frac{9}{\frac{3}{2}}= 6$

Do đó 

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}\times 6(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})\Rightarrow$ ĐPCM.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Chỗ này áp dụng các bộ số sai rồi nha bạn.



#4 nukata123

nukata123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán,nhạc,thể thao

Đã gửi 27-10-2014 - 22:14

:icon6:



#5 Huy Huynh

Huy Huynh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TK16- Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định

Đã gửi 27-10-2014 - 22:15

BĐT cần cm tương đương

                      $\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

 

 

 

*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:

chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$

                        <=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$

                      Mà x,y,z <1
                     => ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Huynh: 27-10-2014 - 22:47


#6 nukata123

nukata123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán,nhạc,thể thao

Đã gửi 27-10-2014 - 22:20

BĐT cần cm tương đương

                      

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)$ , $\frac{x}{y(1-x)}$ , $\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

Bộ số sai r cưng :3

 



#7 Huy Huynh

Huy Huynh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TK16- Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định

Đã gửi 27-10-2014 - 22:37

 

BĐT cần cm tương đương

                      

$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)$ , $\frac{x}{y(1-x)}$ , $\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

Bộ số sai r cưng :3

 

 

xem  lại nha ^^



#8 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 27-10-2014 - 22:58

BĐT cần cm tương đương

                      $\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

 

 

 

*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:

chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$

                        <=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$

                      Mà x,y,z <1
                     => ĐPCM

2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?



#9 Huy Huynh

Huy Huynh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TK16- Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định

Đã gửi 27-10-2014 - 23:07

2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?

ờ mình nhầm ^^ b làm ra chưa :v 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh