BĐT cần cm tương đương
$\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$
<=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )
Giả sử x\geq y\geq z
Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^
Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2
*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:
chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$
<=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$
Mà x,y,z <1
=> ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Huynh: 27-10-2014 - 22:47