Thượng sĩ
Cho các số dương $x;y;z<1$ biết $x+y+z=\frac{3}{2}$
Chứng minh rằng : $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z}\leq \frac{x(1-y)}{y(1-x)}+\frac{y(1-z)}{z(1-y)}+\frac{z(1-x)}{x(1-z)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 27-10-2014 - 11:05
Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết
Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.
Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.
Binh nhất
BĐT cần cm tương đương
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$
Thật vậy, áp dụng BĐT Chebyshev vs 2 dãy số tăng ( $\frac{1}{y};\frac{1}{z};\frac{1}{x}$ ) và $(\frac{x}{1-x};\frac{y}{1-y};\frac{z}{1-z})$ ta có :
$\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z})(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$
Lại có $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{y+z+x}= \frac{9}{\frac{3}{2}}= 6$
Do đó
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}\times 6(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})\Rightarrow$ ĐPCM.
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Hạ sĩ
BĐT cần cm tương đương
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$
Thật vậy, áp dụng BĐT Chebyshev vs 2 dãy số tăng ( $\frac{1}{y};\frac{1}{z};\frac{1}{x}$ ) và $(\frac{x}{1-x};\frac{y}{1-y};\frac{z}{1-z})$ ta có :
$\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}$$\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z})(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$
Lại có $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{y+z+x}= \frac{9}{\frac{3}{2}}= 6$
Do đó
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq \frac{1}{3}\times 6(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})\Rightarrow$ ĐPCM.
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Chỗ này áp dụng các bộ số sai rồi nha bạn.
Binh nhất
BĐT cần cm tương đương
$\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$
<=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )
Giả sử x\geq y\geq z
Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^
Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2
*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:
chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$
<=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$
Mà x,y,z <1
=> ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Huynh: 27-10-2014 - 22:47
Binh nhất
BĐT cần cm tương đương
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$<=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )
Giả sử x\geq y\geq z
Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)$ , $\frac{x}{y(1-x)}$ , $\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^
Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2
Bộ số sai r cưng :3
Binh nhất
BĐT cần cm tương đương
$\frac{x}{y(1-x)}+ \frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)}\geq 2(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$<=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )
Giả sử x\geq y\geq z
Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)$ , $\frac{x}{y(1-x)}$ , $\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^
Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2
Bộ số sai r cưng :3
xem lại nha ^^
Hạ sĩ
BĐT cần cm tương đương
$\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$
<=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )
Giả sử x\geq y\geq z
Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^
Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2
*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:
chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$
<=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$
Mà x,y,z <1
=> ĐPCM
2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?
Binh nhất
2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?
ờ mình nhầm ^^ b làm ra chưa :v
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
