Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 28-10-2014 - 11:34

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$



#2 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-10-2014 - 15:14

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

Lời giải :

Chứng minh $f$ là đơn ánh. Giả sử $f(y_1)=f(y_2).$ Trong phương trình đầu, cho $x=1$ ta được :

$$f(1+2f(y))=2y+1(1)$$

Vì $f(y_1)=f(y_2)$ nên $f(1+2f(y_1))=f(1+2f(y_2)).$ nên từ (1) suy ra $y_1=y_2.$

Vậy $f$ là đơn ánh. 

Cho $x=0$ vào phuơng trình đầu, ta được:

$$f_2(y)=y$$

Tương tự cho $y=0$ vào phương trình đầu, ta được :

$$f(x+f(0)+xf(0))=x=f_2(x)$$

Từ đó suy ra được $$x+(x+1)f(0)=f(x)$$

Đặt $f(0)=t.$ Vậy ta có :

$$f(x)=(t+1)x+t$$

Từ đây thay vào phương trình đầu tiên và đồng nhất hệ số. 

Ta được $f(x)=x$ và $f(x)=-x-2$ thoả bài toán.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-10-2014 - 15:15


#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 28-10-2014 - 19:48

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

-Thay $x$ bởi $f(x)= > f(f(x)+f(y)+f(x)f(y))=f(x)+y+yf(x)$

 

-Đổi vai trò của $x,y= > f(f(y)+f(x)+f(y)f(x))=f(y)+xf(y)+x$

 

   Từ đó $= > f(x)+y+yf(x)=f(y)+xf(y)+x= > (f(x)+1)(y+1)=(f(y)+1)(x+1)= > \frac{f(x)+1}{x+1}=\frac{f(y)+1}{y+1}=a= > f(x)=ax+a-1$

 

-Thay vào đề bài $= > f(x+ay+a-1+x(ay+a-1))=x+y+xy= > f(axy+ay+ax+a-1)=x+y+xy= > a(axy+ay+ax+a-1)+a-1=xy+x+y= > xy(a^2-1)+y(a^2-1)+x(a^2-1)+(a^2-1)=0= > (a^2-1)(xy+x+y+1)=0= > a^2-1=0= > \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ a=-1 & \end{matrix}\right.$

 

   $= > \left\{\begin{matrix} f(x)=x & \\ f(x)=-x-2& \end{matrix}\right.$ thỏa mãn bài toán






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh