Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

[Near Ryuzaki]

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

Lời giải :

Chứng minh $f$ là đơn ánh. Giả sử $f(y_1)=f(y_2).$ Trong phương trình đầu, cho $x=1$ ta được :

$$f(1+2f(y))=2y+1(1)$$

Vì $f(y_1)=f(y_2)$ nên $f(1+2f(y_1))=f(1+2f(y_2)).$ nên từ (1) suy ra $y_1=y_2.$

Vậy $f$ là đơn ánh. 

Cho $x=0$ vào phuơng trình đầu, ta được:

$$f_2(y)=y$$

Tương tự cho $y=0$ vào phương trình đầu, ta được :

$$f(x+f(0)+xf(0))=x=f_2(x)$$

Từ đó suy ra được $$x+(x+1)f(0)=f(x)$$

Đặt $f(0)=t.$ Vậy ta có :

$$f(x)=(t+1)x+t$$

Từ đây thay vào phương trình đầu tiên và đồng nhất hệ số. 

Ta được $f(x)=x$ và $f(x)=-x-2$ thoả bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-10-2014 - 15:15

[Hoang Tung 126]

Tìm $f:R\rightarrow R thỏa mãn f(x+f(y)+xf(y))= x+y+xy$

-Thay $x$ bởi $f(x)= > f(f(x)+f(y)+f(x)f(y))=f(x)+y+yf(x)$

 

-Đổi vai trò của $x,y= > f(f(y)+f(x)+f(y)f(x))=f(y)+xf(y)+x$

 

   Từ đó $= > f(x)+y+yf(x)=f(y)+xf(y)+x= > (f(x)+1)(y+1)=(f(y)+1)(x+1)= > \frac{f(x)+1}{x+1}=\frac{f(y)+1}{y+1}=a= > f(x)=ax+a-1$

 

-Thay vào đề bài $= > f(x+ay+a-1+x(ay+a-1))=x+y+xy= > f(axy+ay+ax+a-1)=x+y+xy= > a(axy+ay+ax+a-1)+a-1=xy+x+y= > xy(a^2-1)+y(a^2-1)+x(a^2-1)+(a^2-1)=0= > (a^2-1)(xy+x+y+1)=0= > a^2-1=0= > \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ a=-1 & \end{matrix}\right.$

 

   $= > \left\{\begin{matrix} f(x)=x & \\ f(x)=-x-2& \end{matrix}\right.$ thỏa mãn bài toán