Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 28-10-2014 - 11:38

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$



#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-11-2014 - 19:34

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$

Cho $x=y$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$x^2.2f(x)=2x.f(xf(x))$$

$$\Rightarrow xf(x)=f(xf(x))$$

Với $x>0$ bất kì, ta đặt $a=xf(x)$, lúc đó $f(a)=a$, thay $x=y=a$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$a^2.2a=2a.f(a^2)$$

$$\Rightarrow f(a^2)=a^2$$

Cứ tương tự như vậy ta cũng có $f(a^4)=a^4$.

Thay $x=a,y=1$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$a^2.(a+f(1))=(a+1).a$$

$$\Rightarrow a^2+a.f(1)=a+1$$

Tương tự ta có $$a^4+a^2f(1)=a^2+1$$

Vậy nên $$a^4-a^2+a^2f(1)-af(1)=a^2-a\Rightarrow (a^2-a).(a^2+a+f(1)-1)=0$$

Tương tự thì $(a^4-a^2).(a^4+a^2+f(1)-1)=0$, vậy nếu $a\neq 1$ thì $a^2+a+f(1)-1=a^4+a^2+f(1)-1=0$ hay $a=1$(mâu thuẫn)

Vậy $a=1$. Hay $f(x)=\frac{1}{x}\forall x\in (0;+\infty)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-11-2014 - 19:35

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 06-11-2014 - 22:09

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh.
Thật vậy với $f(x_1)=f(x_2)$ thì từ giả thiết ta sẽ có:
$\frac{x_1^2}{x_1+y}=\frac{x_2^2}{x_2+y}$ bằng biến đổi tương đương và chú ý rằng $x_1,x_2,y$ là các số dương thì ta sẽ có $x_1=x_2$.
Vậy $f$ đơn ánh.
Lúc này thay $x=y=1$ ta có: $f(1)=f(f(1))$, nhờ $f$ đơn ánh ta thu được $f(1)=1$.
Đến đây chỉ cần thay $x=1$ vào giả thiết thì ta thu được $f(y)=\frac{1}{y}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh