Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$

[WhjteShadow]

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$

Cho $x=y$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$x^2.2f(x)=2x.f(xf(x))$$

$$\Rightarrow xf(x)=f(xf(x))$$

Với $x>0$ bất kì, ta đặt $a=xf(x)$, lúc đó $f(a)=a$, thay $x=y=a$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$a^2.2a=2a.f(a^2)$$

$$\Rightarrow f(a^2)=a^2$$

Cứ tương tự như vậy ta cũng có $f(a^4)=a^4$.

Thay $x=a,y=1$ vào phương trình ban đầu ta được :

$$a^2.(a+f(1))=(a+1).a$$

$$\Rightarrow a^2+a.f(1)=a+1$$

Tương tự ta có $$a^4+a^2f(1)=a^2+1$$

Vậy nên $$a^4-a^2+a^2f(1)-af(1)=a^2-a\Rightarrow (a^2-a).(a^2+a+f(1)-1)=0$$

Tương tự thì $(a^4-a^2).(a^4+a^2+f(1)-1)=0$, vậy nếu $a\neq 1$ thì $a^2+a+f(1)-1=a^4+a^2+f(1)-1=0$ hay $a=1$(mâu thuẫn)

Vậy $a=1$. Hay $f(x)=\frac{1}{x}\forall x\in (0;+\infty)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-11-2014 - 19:35

[hoangtubatu955]

Tìm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty ) thỏa mãn  x^{2}(f(x)+f(y))= (x+y)f(yf(x))$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh.
Thật vậy với $f(x_1)=f(x_2)$ thì từ giả thiết ta sẽ có:
$\frac{x_1^2}{x_1+y}=\frac{x_2^2}{x_2+y}$ bằng biến đổi tương đương và chú ý rằng $x_1,x_2,y$ là các số dương thì ta sẽ có $x_1=x_2$.
Vậy $f$ đơn ánh.
Lúc này thay $x=y=1$ ta có: $f(1)=f(f(1))$, nhờ $f$ đơn ánh ta thu được $f(1)=1$.
Đến đây chỉ cần thay $x=1$ vào giả thiết thì ta thu được $f(y)=\frac{1}{y}$