Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 28-10-2014 - 12:10

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y) $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-10-2014 - 15:18


#2 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-10-2014 - 15:25

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y) $

Lời giải :  

Viết lại đề : $$f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y)(1)$$

$$(1)\overset{x=0}{\Rightarrow}f([1+f(x)]f(y))=y$$

Từ đây chứng minh được $f$ là song ánh.

Do đó tồn tại $a$ để $f(a)=0$

$$(1)\overset{y=c}{\Rightarrow}f(0)=c$$

Tiếp tục :

$$(1)\overset{x=y=0}{\Rightarrow}f([1+c]c)=0$$

Vậy $$f([1+c]c)=f(c)$$
Hơn nữa do $f$ là song ánh
suy ra $$f(0)=0$$
$$(1)\overset{x=0}{\Rightarrow}f_2(y)=y(2)$$
Mặt khác 
$$(1)\overset{x=f(x)}{\Rightarrow}f(y[1+x])=f(y)+yf(x)(3), do (2)$$
Từ (3) thay $x=-1$ , dùng $f(0)=0$ và đặt $a=-f(-1)$ ta có :
$$f(y)=ay(4)$$
Thay (4) vào (1) và đồng nhất hệ số ta được $2$ hàm thoả đề là 
$$f(x)=x,f(x)=-x$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-10-2014 - 15:31





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh