Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 28-10-2014 - 12:14

$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$ 



#2 shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 20-11-2014 - 00:48

$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y) (1)$ 

Trong (1) cho $y=0$ ta được $f(f(x))=4x,\forall x\in \mathbb{R}$ (2), suy ra $f$ song ánh

Từ đó tồn tại duy nhất $c$ sao cho $f\left ( c \right )=2$

Trong (1) thay $y$ bởi $c-x$ ta có

$f((c-x)f\left ( c \right )+f(x))=4x+2(c-x)f\left ( c \right ),\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(2c-2x+f(x))=4c,\forall x\in \mathbb{R}$

Trong (2) cho $x=c$ ta được $f(f\left ( c \right ))=4c=f(2)$

suy ra $2c-2x+f(x)=2,\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(x)=2x+2-2c,\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó ta tìm được $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}
$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 20-11-2014 - 00:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh