Đến nội dung

Hình ảnh

$f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$ 



#2
shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y) (1)$ 

Trong (1) cho $y=0$ ta được $f(f(x))=4x,\forall x\in \mathbb{R}$ (2), suy ra $f$ song ánh

Từ đó tồn tại duy nhất $c$ sao cho $f\left ( c \right )=2$

Trong (1) thay $y$ bởi $c-x$ ta có

$f((c-x)f\left ( c \right )+f(x))=4x+2(c-x)f\left ( c \right ),\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(2c-2x+f(x))=4c,\forall x\in \mathbb{R}$

Trong (2) cho $x=c$ ta được $f(f\left ( c \right ))=4c=f(2)$

suy ra $2c-2x+f(x)=2,\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(x)=2x+2-2c,\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó ta tìm được $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}
$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 20-11-2014 - 00:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh