$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$
$f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y)$
#1
Đã gửi 28-10-2014 - 12:14
#2
Đã gửi 20-11-2014 - 00:48
$f:R\rightarrow R$ thoả mãn $f(yf(x+y)+f(x))= 4x+2yf(x+y) (1)$
Trong (1) cho $y=0$ ta được $f(f(x))=4x,\forall x\in \mathbb{R}$ (2), suy ra $f$ song ánh
Từ đó tồn tại duy nhất $c$ sao cho $f\left ( c \right )=2$
Trong (1) thay $y$ bởi $c-x$ ta có
$f((c-x)f\left ( c \right )+f(x))=4x+2(c-x)f\left ( c \right ),\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(2c-2x+f(x))=4c,\forall x\in \mathbb{R}$
Trong (2) cho $x=c$ ta được $f(f\left ( c \right ))=4c=f(2)$
suy ra $2c-2x+f(x)=2,\forall x\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(x)=2x+2-2c,\forall x\in \mathbb{R}$
Từ đó ta tìm được $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}
$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 20-11-2014 - 00:51
- hoangtubatu955, quangbinng, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh