Cho a,b,c là 3 số dương TM ab+bc+ac=3.Tìm GTNN của biểu thức:$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}$
Tìm GTNN của biểu thức:$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}$
Bắt đầu bởi Dinh Xuan Hung, 28-10-2014 - 22:16
#1
Đã gửi 28-10-2014 - 22:16
#2
Đã gửi 07-05-2021 - 19:35
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
$\frac{1+3a}{1+b^2}=(1+3a)-\frac{3ab^2+b^2}{b^2+1}\geqslant(1+3a)-\frac{3ab^2+b^2}{2b}=1+3a-\frac{b}{2}-\frac{3}{2}ab$
Tương tự rồi cộng lại:
$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\geqslant 3+\frac{5}{2}(a+b+c)-\frac{3}{2}(ab+bc+ca)\geqslant 3+\frac{5}{2}.\sqrt{3(ab+bc+ca)}-\frac{3}{2}(ab+bc+ca)=6$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh