Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của biểu thức:$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho a,b,c là 3  số dương TM ab+bc+ac=3.Tìm GTNN của biểu thức:$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 

$\frac{1+3a}{1+b^2}=(1+3a)-\frac{3ab^2+b^2}{b^2+1}\geqslant(1+3a)-\frac{3ab^2+b^2}{2b}=1+3a-\frac{b}{2}-\frac{3}{2}ab$

Tương tự rồi cộng lại: 

$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\geqslant 3+\frac{5}{2}(a+b+c)-\frac{3}{2}(ab+bc+ca)\geqslant 3+\frac{5}{2}.\sqrt{3(ab+bc+ca)}-\frac{3}{2}(ab+bc+ca)=6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh