Chủ đề này có 4 trả lời

[anhswt4857]

Cho $a;b;c$ dương. CMR:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+b+a}\leq \frac{3}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhswt4857: 29-10-2014 - 10:41

[Huy Huynh]

Ta biến đổi BĐT cần c/m tương đương:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+b+a}\leq \frac{3}{5}$ (1)

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+c+a}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{5}$

 

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3a+b+c}+\frac{a+b+c}{3b+c+a}+\frac{a+b+c}{3c+a+b}\geq \frac{9}{10}$

 

$\Leftrightarrow 5(a+b+c)(\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b})\geq 9$ (2)

 

T dễ dàng c/m đc BĐT quen thuộc sau : $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ ( các bạn tự c/m lại nha ^^)

Thay 3a+b+c=x; 3b+c+a=y; 3c+a+b=z => x+y+z = 5(a+b+c)

Suy ra BĐT (2) đc c/m => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Huynh: 29-10-2014 - 21:26

[LuoiHocNhatLop]

Áp dụng bđt  Cauchy-Swarchz ta được:
$\sum \frac{a}{3a+b+c} =\frac{1}{25}\sum \frac{(2+3)^2 .a}{(2a)+(a+b+c)} \leq \frac{1}{25}\sum \left ( 2+ \frac{9a}{a+b+c} \right ) =\frac{1}{25}.\left ( 6+9 \right )=\frac{3}{5}$
 

[Trinh Dinh Tai]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a+b+c=3$

 

Ta cần chứng minh:

$\frac{a}{2a+3}+\frac{b}{2b+3}+\frac{c}{2c+3}\leq \frac{3}{5}$

Ta chứng minh:

$\frac{a}{2a+3}\leq \frac{3a+2}{25}$ $(1)$

$(1)$ $\Leftrightarrow$ $25a\leq (2a+3)(3a+2)\Leftrightarrow 6a^{2}-12a+6\geq 0\Leftrightarrow 6(a-1)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Tương tự ta có:

$\frac{b}{2b+3}\leq \frac{3b+2}{25}$ $(2)$

$\frac{c}{2c+3}\geq \frac{3c+2}{25}$ $(3)$

Cộng từng vế $(1)$ $(2)$ $(3)$ ta được :

$\frac{a}{2a+3}+\frac{b}{2b+3}+\frac{c}{2c+3}\leq \frac{3(a+b+c)+6}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trinh Dinh Tai: 29-10-2014 - 12:46

[KietLW9]

Cho $a;b;c$ dương. CMR:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+b+a}\leq \frac{3}{5}$

Đặt $3a+b+c=x;3b+c+a=y;3c+a+b=z$ thì $a=\frac{4x-y-z}{10};b=\frac{4y-z-x}{10};c=\frac{4z-x-y}{10}$

Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{4x-y-z}{10x}+\frac{4y-z-x}{10y}+\frac{4z-x-y}{10z}\leqslant \frac{3}{5}$

Nhưng đây là bất đẳng thức đúng theo Cô-si

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-04-2021 - 11:41