Đến nội dung

Hình ảnh

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vuotquatrongai98

vuotquatrongai98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$



#2
Zurnie

Zurnie

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm



#3
Zurnie

Zurnie

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh