Chủ đề này có 1 trả lời

[zipienie]

Với $a,b,c  \in [0,1]$, chứng minh rằng

\[ f(a,b,c) = \left[ 3(a^5+b^7sin\frac{\pi a}{2}+c)-2(ab+bc+ca)\right] \leqslant 4 \]

[phuc_90]

 

Với $a,b,c  \in [0,1]$, chứng minh rằng

\[ f(a,b,c) = \left[ 3(a^5+b^7sin\frac{\pi a}{2}+c)-2(ab+bc+ca)\right] \leqslant 4 \]

 

 

Bổ đề :   Với $a,b \in [0,1]$ thì $3a^5+3b^7-2ab \leq 4$

 

Thật vậy

 

Nếu $a \geq b$, ta có

 

$3a^5+3b^7-2ab \leq 3a^5+3b^7-2b^2$

 

$\leq 3+(3b^7-2b^2-1)+1 =4+(b-1)(3b^6+3b^5+3b^4+3b^3+3b^2+b+1)\leq 4$

 

Nếu $a \leq b$, ta có

 

$3a^5+3b^7-2ab \leq 3a^5+3b^7-2a^2$

 

$\leq (3a^5-2a^2-1)+1+3 = 4+(a-1)(3a^4+3a^3+3a^2+a+1) \leq 4$

 

Trở lại bài toán

 

Vì  $sin\frac{\pi a}{2} \leq 1$  nên  $f(a,b,c) \leq 3(a^5+b^7+c)-2(ab+bc+ca)=g\left(c\right)$

 

Ta có  $g^{'}\left(c\right)=3-2(a+b)$

 

Trường hợp 1:   $a+b \leq \frac{3}{2}$

 

Khi đó $g^{'}\left(c\right) \geq 0$  nên  $g\left(c\right) \leq g(1)=3a^5+3b^7+3-2ab-2a-2b=h(a,b)$

 

Nếu $a \geq b$ thì ta có $2b \leq a+b \leq \frac{3}{2}$  suy ra  $b \leq \frac{3}{4}$

 

Ta có $h(a,b)=(3a^5-2a-1)+b(3b^6-2-2a)+4 \leq 4$

 

Vì $3a^5-2a-1=(a-1)(3a^4+3a^3+3a^2+3a+1) \leq 0$

 

$3b^6-2a-2 \leq 3\left(\frac{3}{4}\right)^6-2a-2<0$

 

Nếu $a \leq b$ thì ta có $2a \leq a+b \leq \frac{3}{2}$  suy ra  $a \leq \frac{3}{4}$

 

Ta có $h(a,b)=(3b^7-2b-1)+a(3a^4-2-2b)+4 \leq 4$

 

Vì $3b^7-2b-1=(b-1)(3b^6+3b^5+3b^4+3b^3+3b^2+3b+1) \leq 0$

 

$3a^4-2b-2 \leq 3\left(\frac{3}{4}\right)^4-2b-2<0$

 

Trường hợp 2 :    $a+b \geq \frac{3}{2}$

 

Khi đó $g^{'}\left(c\right) \leq 0$ nên $g\left(c\right) \leq g(0)=3a^5+3b^7-2ab \leq 4$   (do Bổ đề)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 05-11-2014 - 06:44