Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$
Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$
#1
Đã gửi 30-10-2014 - 20:03
#2
Đã gửi 30-10-2014 - 20:42
Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$
Từ giả thiết $a^{3}> 36$ suy ra a>0 và $bc=\frac{1}{a}$
Bất đẳng thức cần chứng minh viết dưới dạng
$\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}+2bc-2bc> a\left ( b+c \right )+bc$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+\left ( b+c \right )^{2}-3bc-a\left ( b+c \right )>0$
$\Leftrightarrow \left ( b+c \right )^{2}-a\left ( b+c \right )+\frac{a^{2}}{3}-\frac{3}{a}>0 (*)$
Dặt t=b+c, Xét $f\left ( t \right )=t^{2}-at+\frac{a^{2}}{3}-\frac{3}{a}$ (với a^3> 36)
ta lập $\Delta$ và chứng minh $\Delta < 0$
và suy ra đpcm
- nguyenhongsonk612, trameo, Phuong Hoa 23 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-12-2014 - 09:46
Giả sử $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca>0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+2bc-ca)-3bc+\frac{a^{2}}{12}>0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{2}-36bc}{12}>0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{3}-36abc}{12a}>0 (*) Vì a^{3}>36 \Rightarrow a>0;a^{3}-36>0 hay a^{3}-36abc>0 (vì abc=1)$
=> (*) luôn đúng
#4
Đã gửi 12-12-2014 - 11:19
=> bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{a^{3}}{2} - b^{2} - c^{2} - ab - ac - bc$
Sau khi biến đổi, chúng ta cần phải cm cho $( \frac{a}{2} - b - c)^{2} - \frac{36abc - a^{3}}{12.a}$
Mà điều này hiển nhiên đúng do điều kiện của đề bài cho
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lehalinhthcshb: 12-12-2014 - 11:19
- Thu Huyen 21 yêu thích
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh