Đến nội dung

Hình ảnh

Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
trameo

trameo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$



#2
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

  Từ giả thiết $a^{3}> 36$ suy ra a>0 và $bc=\frac{1}{a}$

    Bất đẳng thức cần chứng minh viết dưới dạng 

               $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}+2bc-2bc> a\left ( b+c \right )+bc$

               $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+\left ( b+c \right )^{2}-3bc-a\left ( b+c \right )>0$

               $\Leftrightarrow \left ( b+c \right )^{2}-a\left ( b+c \right )+\frac{a^{2}}{3}-\frac{3}{a}>0 (*)$

   Dặt t=b+c, Xét $f\left ( t \right )=t^{2}-at+\frac{a^{2}}{3}-\frac{3}{a}$   (với a^3> 36)

   ta lập $\Delta$ và chứng minh  $\Delta < 0$

                  và suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#3
Phuong Hoa 23

Phuong Hoa 23

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Giả sử $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca>0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+2bc-ca)-3bc+\frac{a^{2}}{12}>0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{2}-36bc}{12}>0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{3}-36abc}{12a}>0 (*) Vì a^{3}>36 \Rightarrow a>0;a^{3}-36>0 hay a^{3}-36abc>0 (vì abc=1)$
=> (*) luôn đúng



#4
Lehalinhthcshb

Lehalinhthcshb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
Giả sử điều phải chứng minh là đúng
=> bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{a^{3}}{2} - b^{2} - c^{2} - ab - ac - bc$
Sau khi biến đổi, chúng ta cần phải cm cho $( \frac{a}{2} - b - c)^{2} - \frac{36abc - a^{3}}{12.a}$
Mà điều này hiển nhiên đúng do điều kiện của đề bài cho
=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lehalinhthcshb: 12-12-2014 - 11:19

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

 

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein

 

:luoi: :luoi: :luoi: :luoi:

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn  

                                                                              





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh