cho a,b,c>0, $n\in N*$ chứng minh rằng
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{b+c}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$
$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$
Bắt đầu bởi raquaza, 01-11-2014 - 15:14
#2
Đã gửi 01-11-2014 - 20:19
Viet Hoang 99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 2291 Bài viết
$\textbf{Trương Việt Hoàng}$
cho a,b,c>0, $n\in N*$ chứng minh rằng
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{b+c}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$
Với $n=1$ thì đó chính là BĐT Nesbitt, BĐT đúng.
Giả sử BĐT đúng với $n=k$, ta chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$
Vì $\sum \dfrac{a^{k+1}}{b+c}\ge \dfrac{a+b+c}{3}.\sum \dfrac{a^k}{b+c}$ (Trê bư sép)
nên BĐT đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 01-11-2014 - 20:23
- raquaza và Dung Du Duong thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 04-11-2014 - 19:44
Nguyentiendung9372
-
- Thành viên
-
- 131 Bài viết
Trung sĩ
cho a,b,c>0, $n\in N*$ chứng minh rằng
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{b+c}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$
Giả sử $a \ge b \ge c$
Suy ra ${a \over {b + c}},{b \over {c + a}},{c \over {a + b}}$ và ${a^{n - 1}},{b^{n - 1}},{c^{n - 1}}$ là hai dãy đơn điệu giảm
Áp dụng Chebyshev, có
$$VT = {a^{n - 1}}{a \over {b + c}} + {b^{n - 1}}{b \over {c + a}} + {c^{n - 1}}{c \over {a + b}} \ge {1 \over 3}\left( {\sum {{a \over {b + c}}} } \right)\left( {{a^{n - 1}} + {b^{n - 1}} + {c^{n - 1}}} \right) \ge {1 \over 3}.{9 \over 2}.{\left( {{{a + b + c} \over 3}} \right)^{n - 1}} = {3 \over 2}{\left( {{{a + b + c} \over 3}} \right)^{n - 1}}$$
Suy ra...
- Dung Du Duong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
