Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \dfrac{1}{x^2+x+1}\ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:

$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$

Nói cách khác, Cmr:

$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

 

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:
$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

 

Giải bằng nhiều cách.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 02-11-2014 - 07:49


#2
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:

$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$

Nói cách khác, Cmr:

$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

 

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:
$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

 

Giải bằng nhiều cách.

Bài 1 : Ta có thể chứng minh một kết quả chặt hơn : 

$a^{2}.b+b^{2}.c+c^{2}.a\leq \frac{4}{27}$ 

từ bài toán trên ta cũng có thể tổng quát hóa thành bài toán sau : 

'' Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=m$ .CMR: 

$a^{n}.b+b^{n}.c+c^{n}.a\leq max\left \{ m;\frac{m^{n+1}.n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \right \}$

Muốn chứng minh bài trên thì ta chia thành 3  trường hợp : 

Ở đây em chỉ chứng minh TH cuối là $n>2$ : 

Giả sử : $a=max\left \{ a,b,c\right \}$

Dễ dàng CM được : $a^{n}.b+b^{n}.c+c^{n}.a\leq b(a+c)^{n}$ ( nhờ vào Bernouilli ) 

Tiếp theo : ta có : 

$b.(a+c)^{n}=b.n^{n}.\frac{(a+c)^{n}}{n^{n}}\leq n^{n}.(\frac{a+b+c}{n+1})^{n+1}=VP$

Vậy suy ra điều phải CM 

p/s : Còn hai trường hợp còn lại chứng minh tương đối phức tạp 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#3
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:

$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$

Nói cách khác, Cmr:

$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

 

Lời giải của khanghaxuan là áp dụng bài toán tổng quát của BĐT hoán vị:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}\geq b_{1}\geq c_{1} & \\ a_{2}\geq b_{2}\geq c_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\geq \sum a_{i}b_{i}$(BĐT hoán vị cùng chiều)(*)

vào bài toán này ta áp dụng BĐT (*) như sau:

W.L.O.G $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}b+abc+c^{2}b\geq b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c$

$a^{2}b+abc+c^{2}b=b(a^{2}+ac+c^{2})$

$=b((a+c)^{2}-ac)\leq b(3-b)^{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{3-b}{2}+\frac{3-b}{2}}{3})^{3}=4$

 

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:

$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

HD:

do $abc=1$ nên $\exists m,n,p\in \mathbb{N*}:a=\frac{mn}{p^{2}},b=\frac{np}{m^{2}},c=\frac{mp}{n^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 02-11-2014 - 08:58

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Lời giải của khanghaxuan là áp dụng bài toán tổng quát của BĐT hoán vị:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}\geq b_{1}\geq c_{1} & \\ a_{2}\geq b_{2}\geq c_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\geq \sum a_{i}b_{i}$(BĐT hoán vị cùng chiều)(*)

vào bài toán này ta áp dụng BĐT (*) như sau:

W.L.O.G $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}b+abc+c^{2}b\geq b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c$

$a^{2}b+abc+c^{2}b=b(a^{2}+ac+c^{2})$

$=b((a+c)^{2}-ac)\leq b(3-b)^{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{3-b}{2}+\frac{3-b}{2}}{3})^{3}=4$

 

HD:

do $abc=1$ nên $\exists m,n,p\in \mathbb{N*}:a=\frac{mn}{p^{2}},b=\frac{np}{m^{2}},c=\frac{mp}{n^{2}}$

Thật ra cái chỗ cm '' $a^{n}b+b^{n}c+c^{n}a\leq b.(a+c)^{n}$'' mình làm như sau : 

Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ 

Ta xét : $(a+c)^{n}.b\geq a^{n}.b.(\frac{a+c}{a})^{n}\geq a^{n}.b.(1+\frac{nc}{a})\geq a^{n}.b.(1+\frac{2c}{a})=a^{n}.b+bc.a^{n-1}+bc.a^{n-1}\geq a^{n}.b+b^{n}.c+c^{n}.a$

Rồi ta có : $b(a+c)^{n}=b.n^{n}.(\frac{a+c}{n})^{n}\leq n^{n}.(\frac{b+a+c}{n+1})^{n+1}\leq max\left \{ m;\frac{m^{n+1}.n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \right \}$

Suy ra dpcm  


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh