Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

MIN:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 02-11-2014 - 09:33

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeaynzs: 02-11-2014 - 11:05


#2 daotuanminh

daotuanminh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-11-2014 - 09:54

Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}

=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})

\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$


Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.


#3 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 02-11-2014 - 10:05

Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}

=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})

\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$

Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$



#4 Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Hưng Yên
  • Sở thích:Prime

Đã gửi 02-11-2014 - 10:45

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$

Đặt $M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$\Rightarrow M+3=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$

$\Rightarrow M+3=\frac{1}{2}\left [ (a+b)+(b+c)+(a+c) \right ](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})\geq \frac{1}{2}.3^2=4,5$ (bdt Cauchy-Schwars)

Đặt $N=\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 2+2+2=6$

$\Rightarrow A=M+N\geq (4,5-3)+6=7,5$  

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 02-11-2014 - 10:47

Chung Anh


#5 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 02-11-2014 - 10:49

Sai hết rồi, đề có có dương đâu mà Cauchy-Schwarz với Cauchy. Khẳng định là đề thiếu điều kiện $a,b,c>0$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6 daotuanminh

daotuanminh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-11-2014 - 10:57

Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$

À mình quên chưa trừ 6


Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.


#7 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 02-11-2014 - 11:01

Sai hết rồi, đề có có dương đâu mà Cauchy-Schwarz với Cauchy. Khẳng định là đề thiếu điều kiện $a,b,c>0$

Uk, đúng rồi, mình sơ suất quá, ghi thiếu đk



#8 lethutang7dltt

lethutang7dltt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-11-2014 - 20:59

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)

đặt  $A_{1}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

        $A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}$

Do đó :$A=A_{1}+A_{2}$

Dễ c/m:$A_{1}\geqslant \frac{3}{2}$  (1)

Có: $A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant (a+b+c)\frac{9}{a+b+c}-3=6$

Do đó: $A_{2}\geqslant 6$    (2)

Lấy (1) cộng (2)=>$A\geqslant 7,5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 04-11-2014 - 21:02

#oimeoi  :wub: #


#9 Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Bóng đá và Toán

Đã gửi 07-11-2014 - 16:00

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)

Áp dụng AM - GM, ta có

$\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\geq 1$

Tương tự, ta có

$\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{4b}\geq 1$

$\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{4c}\geq 1$

Mặt khác, theo AM - GM, có

$\frac{3}{4}\sum \frac{b+c}{a}\geq \frac{9}{2}$

Suy ra min=$\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$

Dấu bằng khi $a=b=c$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh