Chủ đề này có 2 trả lời

[studentlovemath]

Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 02-11-2014 - 22:28

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức
$A=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

Có:$A=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+(a+b+c)^2.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}.(a+b+c)^2.(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\left [ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) \right ].\frac{9}{ab+bc+ac}$$=\frac{9(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a^2+b^2+c^2)9}{ab+bc+ac}+18\geq 2\sqrt{81}+18-8\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq 2.9+18-8=28$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$

[Nguyentiendung9372]

Lời giải sử dụng S.O.S

Chứng minh $M \ge 28$

BĐT tương đương

${{ab + bc + ca} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - 1 + {{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}} \over {abc}} - 27 \ge 0$

$ \Leftrightarrow \sum {\left( {{{a + b + 7c} \over {2abc}} - {1 \over {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} \right)} {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$

$ \Leftrightarrow \sum {{S_c}{{\left( {a - b} \right)}^2}}  \ge 0$ với ${S_c} = {{a + b + 7c} \over {2abc}} - {1 \over {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$, ${S_a},{S_b}$ tương tự

Dễ dàng chứng minh ${S_a},{S_b},{S_c} > 0$

Vậy BĐT được chứng minh

$Min=28$ khi $a=b=c$