Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic ôn luyện VMO 2015

vmo2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-11-2014 - 21:24

VMO sắp tới rồi, do nhu cầu ôn luyện của các mem VMF nên anh sẽ mở topic ôn luyện VMO. Topic này để các mem đăng bài rồi giải bài. Nghiêm cấm các hành vi chém gió, khiêu khích, gõ tiếng Việt ko dấu, quảng cáo,..
 
Cuối lời anh xin chúc các mem VMF ôn luyện tốt và tất cả đều đậu VMO :D .
 
Khởi đầu bằng 3 bài sau:
 
Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy$ với mọi $x,y \in \mathbb{R} $.
 
Bài 2: Tô tập số nguyên bởi $4$ màu. $x,y$ là số nguyên lẻ thỏa mãn $\left | x \right |$khác $\left | y \right |$. CMR: tồn tại 2 số nguyên cùng màu có hiệu thuộc ${x,y,x+y,x-y}$.
 
Bài 3: Về phía ngoài tam giác $ABC$ dựng các tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$ theo thứ tự vuông cân tại $A_1, B_1, C_1. A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là ảnh đối xứng của $A, B, C$ qua $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ . Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, A_2B_2C_2$ đi qua trực tâm của tam giác $A_1B_1C_1.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-11-2014 - 19:09

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-11-2014 - 21:46

Tiếp:

Bài 4: Viết tất cả các số $\dfrac{1}{2014}, \dfrac{2}{2014},...,\dfrac{2014}{2014}$ lên bảng. Ta thực hiện công việc xóa đi hai số $a, b$ bất kỳ trên bảng đồng thời điền lên bảng một số mới là $a+b-2014ab$. Sau một số hữu hạn lần thực hiện, trên bảng chỉ còn một số. Số đó là số nào?


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 03-11-2014 - 22:41

Bài 3 :

 Gọi O là tâm (ABC) , O2 là tâm (A2B2C2) và H là trực tâm A1B1C1

Ta có $A1C1^2 -A1B1^2 =(BC1^2 +BA1^2 -2BC1BA1cos(90^0+B)) -(CB1^2 +CA1^2 -2CB1CA1cos(90^o +C)) =AC1^2 -AB1^2 -2CA1(BC1 sin B -CB1 Sin C) = AC1^2 -AB1^2  \Rightarrow AA1 \perp B1C1$

Tương tự => giao AA1 BB1 CC1 là H

Dễ có BB2C2C thuộc đường tròn tâm A1 , BB2A2A ,CC2A2A là tứ giác nội tiếp và H là tâm đẳng phương của 3 đương tròn

Xét phép nghịch đảo tâm H tỷ số là phương tích của H đến 3 đường tròn biến (A2B2C2) > (ABC) và (ABC) > (A2B2C2)

$\Rightarrow$  O1 O2 H thẳng hàng

Bài 4

Dễ có a,b sau phép biến đổi thì $(1-2014a)(1-2014b) =1-2014(a+b-2014ab)$

Nên sau hữu hạn lần thực hiện thì số đó là

(1-1)(1-2)...(1-2014) =0 $\Rightarrow$ số đó là $\frac{1}{2014}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-11-2014 - 23:58


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-11-2014 - 23:24

Tiếp tục nào, sau đây là 2 câu giải tích ( à câu hàm trên dễ mà ko thấy ai giải thế? ):

 

Bài 5:  Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .

 

Bài 6:  Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f\left( {\frac{{x + y}}{{2012}}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( {\frac{x}{{2013}}} \right) + f\left( {\frac{y}{{2014}}} \right)} \right],\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}\]


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 04-11-2014 - 00:07

Tiếp theo là phần mọi người thích nhất, BĐT, sau bài này thì 3 ngày nữa mình sẽ quay lại :D .

 

Bài 7: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

$(x+y+z)^2.\left [ \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2} \right ]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-11-2014 - 00:10

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#6 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 04-11-2014 - 11:04

Bài 5:  Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .

 

 

Đặt $ x_n =\frac{a_n}{n}$

$\Rightarrow x_{n+1} -x_n =-2 .\frac{1}{n(n+1)}$
$\Rightarrow x_{n+1} -x_1 =-2( -\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n-1} - ,... +1) =-2(1-\frac{1}{n+1}) =-2\frac{n}{n+1}$

$\Rightarrow a_{n+1} =a(n+1) -2n$

Nếu $a >2$ thì lim $a_n = +\infty$

nếu $a<2$ thì lim$ a_n$ = - \infty$

$\Rightarrow  a= 2$ và lim $a_n =2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-11-2014 - 09:08
Latex

  • LNH yêu thích

#7 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 04-11-2014 - 19:01

Bài 7: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

$(x+y+z)^2.\left [ \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2} \right ]$

đặt biểu thức là $P$

không mất tính tổng quát giả sử $x>y>z\geq 0$

đặt $x-y=a,y-z=b\Rightarrow z-x=-(a+b)$ với $a,b>0$

ta có $(x+y+z)^2\geq (x+y)^2=\left [ (z+a+b)+(z+b) \right ]^2\geq (a+2b)^2$

ta cần tìm giá trị nhỏ nhất $P=(a+2b)^2\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2} \right )$

đặt $t=\frac{a}{b}>0\Rightarrow P=\left ( 1+\frac{2}{t} \right )^2+(t+2)^2+\left ( 1+\frac{1}{t+1} \right )^2$

tới đây xét hàm ta được $P\geq 9+6\sqrt{3}$ khi $t=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$

vậy $P_{min}=9+6\sqrt{3}$

dấu bằng xảy ra khi $\boxed{(x,y,z)\sim \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2};1;0 \right )}$ và các hoán vị

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 04-11-2014 - 19:04

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#8 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-11-2014 - 21:44


 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy$ với mọi $x,y \in \mathbb{R} $.

 

 

   Còn mỗi bài này, ý tưởng là thế này

 

- Thay $y$ bởi $f(y)= > f(f(x)+f(y))=f(x)f(f(y))+f(f(x))+f(f(y))-xf(y)$   (1)

 

- Đổi vai trò của $x,y= > f(f(y)+f(x))=f(y)f(f(x))+f(f(y))+f(f(x))-yf(x)$   (2)

 

-Từ (1),(2) $= > f(x)f(f(y))-xf(y)=f(y)f(f(x))-yf(x)= > f(x)(f(f(y))+y)=f(y)(f(f(x))+x)= > \frac{f(f(x))+x}{f(x)}=\frac{f(f(y))+y}{f(y)}=c= > f(f(x))=cf(x)-x$



#9 tohoproirac

tohoproirac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:Toán Toán Toán ^^
    Tổ hợp, BĐT, Số học,Đa thức, PTH, Hình học, ...

Đã gửi 05-11-2014 - 22:15

Bài 8: (TST Hải Dương

 Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.

 

P/s: góp vui 


<3 Mãi mãi một tình yêu <3

:wub: bruce_h4h.gif

赵薇苏有朋


#10 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 05-11-2014 - 23:21

Cảm ơn tohoproiac rất nhiều, tiếp theo sẽ là 1 bài Đa thức:

 

Bài 9: Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên sao cho đa thức $P(x^{3})+xQ(x^{3})$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $P(k),Q(k)$ $(k\in \mathbb{N}^*)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $k-1$ .

 

LỜI GIẢI


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-11-2014 - 11:35

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#11 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 06-11-2014 - 15:30

Bài 10:(Đề thi trại hè hùng vương 2014)

Chứng minh rằng:tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số có thể biểu diễn dưới dạng $\left | 7x^2+9xy-5y^2 \right |$($a,b\in R$)

Mọi người xem tại đây


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#12 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 07-11-2014 - 11:07

   Mình cũng xin góp 1 bài :

 

 Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ ,$f(0)=0,f(1)=2014$ thỏa mãn:

 

     $(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ với mọi số thực $x,y$

 

@supermember: Nam quăng vào vài bài lý thuyết đồ thị cho nó mới.

Tạm thời dừng ở con số 13 bài đã, không post thêm, chừng nào gỉai xong thì mới đưa đề mới

@LNH: em post 1 bài mới nhé :v

@namcpnh: Lý thuyết đồ thị phải để Hoàn lo anh oh, em chỉ chuyên về mấy cái Giải tích thôi, anh cũng tham gia góp bài đi. Mà em thấy mấy bài trên giải gần hết rồi mà, cứ đăng bài đi, khi nào số bài chưa giải quá nhiều em sẽ thông báo nghĩ đăng :D .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-11-2014 - 19:45


#13 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 07-11-2014 - 15:37

Hưởng ứng vài bài lí thuyết đồ thị :))

Bài 12: Cho một ngôi trường có $n$ khóa học và $n$ học sinh. Các học sinh đăng kí vào lớp học, không có $2$ học sinh nào tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau. CMR: ta có thể đóng cửa một khoá học sao cho vẫn không có hai học sinh nào tham gia các khoá học hoàn toàn going nhau.

Bài 13: Cho $35$ người đi dự một buổi họp. Có tất cả $112$ căp hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại $4$ người $a,b,c,d$ sao cho $a$ quen $b$, $b$ quen $c$, $c$ quen $d$ và $d$ quen $a$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 13-11-2014 - 19:30


#14 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 07-11-2014 - 16:45

   Mình cũng xin góp 1 bài :

 

 Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ ,$f(0)=0,f(1)=2014$ thỏa mãn:

 

     $(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ với mọi số thực $x,y$

 

@supermember: Nam quăng vào vài bài lý thuyết đồ thị cho nó mới.

Tạm thời dừng ở con số 13 bài đã, không post thêm, chừng nào gỉai xong thì mới đưa đề mới

@LNH: em post 1 bài mới nhé :v

Bài 11 :

$y:=0 \Rightarrow xf(f(x)^2) =f(x)^3$

Thay lại $\Rightarrow (x-y)(\frac{f(x)^3}{x} -\frac{f(y)^3}{y}) =f(x)^3 +f(y)^3 -f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow \frac{x}{y} f(y)^3 +\frac{y}{x} f(x)^3 =f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow f(y)^2(\frac{x}{y} f(y) -f(x)) =f(x)^2 (f(y) -\frac{y}{x} f(x))$

$y:=1 \Rightarrow f(1)^2 (xf(1) -f(x)) =f(x)^2(f(1)x -f(x)) \frac{1}{x}$

$\Rightarrow (xf(1) -f(x))(f(x)^2-f(1)^2x) =0 \forall x \neq 0$

Như vậy với x < 0 thì f(x) =2014x

Mà $xf(f(x)^2) =f(x)^3 \forall x$

cho $x <0 \Rightarrow 2014^3x^3 =f(x)^3 \Rightarrow 2014x=f(x) \forall x <0$

Do đó $f(x) =2014x$

--------------

Bài PTH đầu có thể đếm = 2 cách đại lượng f(y+f(z) +f(x))

Sau đó so sánh ra được

$f(f(x)).f(z) -xyf(z) -zf(x)=f(x)f(f(z)) -yzf(x) -xf(z)$

Thay $y =1 \Rightarrow \frac{f(f(x))}{f(x)} =\frac{f(f(z))}{f(z)} $

$\Rightarrow f(f(x)) =kf(x)$

thay lại hệ thức $f(f(x)) =a f(x) -x$ thì ta có ngay f(x) là hàm bậc nhất

Thay vào đề bài ta có dpcm 



#15 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 07-11-2014 - 19:38

  Bài 14 : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$

 

          $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x$



#16 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 07-11-2014 - 21:19

  Bài 14 : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$

 

          $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x\;\;\;(1)$

Lời giải :

Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=2a$. Trong $(1)$ cho $x=0,y=a$ được $f(a)=0$. Vậy $2a=f(a)=0$. Suy ra $a=0$. Tức là $f(0)=0$. Từ đó trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(-y)=f(f(y)),\;\forall y\in \mathbb{R}\;\;\;(*)$$

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(f(x))=f(x)+f(-f(-x))+x=f(x)+f(f(f(-x)))+x=f(x)+f(f(f(f(x))))+x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra $f$ đơn ánh. Kết hợp với $(*)$ suy ra :

$$f(x)=-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

 

 

Bài 9: Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên sao cho đa thức $P(x^{3})+xQ(x^{3})$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $P(k),Q(k)$ $(k\in \mathbb{N}^*)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $k-1$ .

Lời giải :

Ta sử dụng tính chất $a-b \mid P(a)-P(b)$ với $a,b$ nguyên.

Ta có :

$$x^2+x+1\mid P(x^3)+xQ(x^3)=P(x^3)-P(1)+x\left ( Q(x^3)-Q(1) \right )+xQ(1)+P(1)$$

Dễ có :

$$x^2+x+1\mid x^3-1\mid P(x^3)-P(1)$$

$$x^2+x+1\mid x^3-1\mid P(x^3)-P(1)$$

Suy ra :

$$x^2+x+1\mid P(1)+xQ(1)$$

Mà $\deg(P(1)+xQ(1)) < \deg(x^2+x+1)$ nên phải có $P(1)+xQ(1)\equiv 0\Rightarrow P(1)=Q(1)=0$

Vậy ta đặt :

$$P(x)=(x-1)U(x),Q(x)=(x-1)V(x)$$

Suy ra $k-1 \mid P(k)$ và $k-1\mid Q(k)$. Do vậy $k-1 \mid d=\gcd(P(k),Q(k)$. 

 

@namcpnh: Tốt


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-11-2014 - 21:44

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#17 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 07-11-2014 - 21:31

  Bài 16: Cho $A,B,C$ là 3 góc của một tam giác. CMR:

 

    $cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{B-C}{2}+cos\frac{C-A}{2}\geq sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}+sin\frac{3C}{2}$

 

 

p/s :Tự chế


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 07-11-2014 - 21:31


#18 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 07-11-2014 - 21:37

Bài 17 : 

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố $(p,q,r)$ thoả :

$$(p^2-7)(q^2-7)(r^2-7)$$

là một số chính phương 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-12-2014 - 00:05

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#19 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 07-11-2014 - 22:48

Thêm một bài nữa.....

 

  Bài 18: Cho $a,b,c> 0,n$ là số nguyên dương. CMR:

 

     $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[n]{\frac{a^{n}+b^{n}}{2}}+\sqrt[n]{\frac{b^{n}+c^{n}}{2}}+\sqrt[n]{\frac{c^{n}+a^{n}}{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 07-11-2014 - 23:40


#20 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 07-11-2014 - 23:39

Nếu được đăng thì cho em đăng 1 bài số nhé :))

Bài 17 : 

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố $(p,q,r)$ thoả :

$$(p^2-7)(q^2-7)(r^2-7)$$

là một số chính phương 

Bài 17

$p^2 -7 \equiv p^2 +1 mod 4$

Nên nếu cả 3 số p,q,r đều k là 2 thì $x^2 =(p^2 -7)(q^2 -7)(r^2 -7) \vdots 8$  và không chia hết cho 16 (vô lý )

Nếu có 1 số là 2 (Giả sử là p ) $\Rightarrow x^2 =-3(q^2 -7)(r^2 -7)$ nên tồn tại đúng 1 số trong q ,r là 2 để VP >0

Giả sử  là $q=2 và r \neq 2 \Rightarrow x^2 =9(r^2 -7)$

$\Rightarrow r^2 - 7 \vdots 2$ mà không chia hết cho 4

$\Rightarrow$ vô lý

Vậy không tồn tại bộ 3 số nguyên tố (p ,q,r) nào thỏa mãn đề bài :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 07-11-2014 - 23:41






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh