Chủ đề này có 137 trả lời

[namcpnh]

VMO sắp tới rồi, do nhu cầu ôn luyện của các mem VMF nên anh sẽ mở topic ôn luyện VMO. Topic này để các mem đăng bài rồi giải bài. Nghiêm cấm các hành vi chém gió, khiêu khích, gõ tiếng Việt ko dấu, quảng cáo,..
 
Cuối lời anh xin chúc các mem VMF ôn luyện tốt và tất cả đều đậu VMO .
 
Khởi đầu bằng 3 bài sau:
 
Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy$ với mọi $x,y \in \mathbb{R} $.
 
Bài 2: Tô tập số nguyên bởi $4$ màu. $x,y$ là số nguyên lẻ thỏa mãn $\left | x \right |$khác $\left | y \right |$. CMR: tồn tại 2 số nguyên cùng màu có hiệu thuộc ${x,y,x+y,x-y}$.
 
Bài 3: Về phía ngoài tam giác $ABC$ dựng các tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$ theo thứ tự vuông cân tại $A_1, B_1, C_1. A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là ảnh đối xứng của $A, B, C$ qua $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ . Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, A_2B_2C_2$ đi qua trực tâm của tam giác $A_1B_1C_1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-11-2014 - 19:09

[namcpnh]

Tiếp:

Bài 4: Viết tất cả các số $\dfrac{1}{2014}, \dfrac{2}{2014},...,\dfrac{2014}{2014}$ lên bảng. Ta thực hiện công việc xóa đi hai số $a, b$ bất kỳ trên bảng đồng thời điền lên bảng một số mới là $a+b-2014ab$. Sau một số hữu hạn lần thực hiện, trên bảng chỉ còn một số. Số đó là số nào?

[Tru09]

Bài 3 :

 Gọi O là tâm (ABC) , O2 là tâm (A2B2C2) và H là trực tâm A1B1C1

Ta có $A1C1^2 -A1B1^2 =(BC1^2 +BA1^2 -2BC1BA1cos(90^0+B)) -(CB1^2 +CA1^2 -2CB1CA1cos(90^o +C)) =AC1^2 -AB1^2 -2CA1(BC1 sin B -CB1 Sin C) = AC1^2 -AB1^2  \Rightarrow AA1 \perp B1C1$

Tương tự => giao AA1 BB1 CC1 là H

Dễ có BB2C2C thuộc đường tròn tâm A1 , BB2A2A ,CC2A2A là tứ giác nội tiếp và H là tâm đẳng phương của 3 đương tròn

Xét phép nghịch đảo tâm H tỷ số là phương tích của H đến 3 đường tròn biến (A2B2C2) > (ABC) và (ABC) > (A2B2C2)

$\Rightarrow$  O1 O2 H thẳng hàng

Bài 4

Dễ có a,b sau phép biến đổi thì $(1-2014a)(1-2014b) =1-2014(a+b-2014ab)$

Nên sau hữu hạn lần thực hiện thì số đó là

(1-1)(1-2)...(1-2014) =0 $\Rightarrow$ số đó là $\frac{1}{2014}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-11-2014 - 23:58

[namcpnh]

Tiếp tục nào, sau đây là 2 câu giải tích ( à câu hàm trên dễ mà ko thấy ai giải thế? ):

 

Bài 5:  Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .

 

Bài 6:  Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f\left( {\frac{{x + y}}{{2012}}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( {\frac{x}{{2013}}} \right) + f\left( {\frac{y}{{2014}}} \right)} \right],\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}\]

[namcpnh]

Tiếp theo là phần mọi người thích nhất, BĐT, sau bài này thì 3 ngày nữa mình sẽ quay lại .

 

Bài 7: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

$(x+y+z)^2.\left [ \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2} \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-11-2014 - 00:10

[Tru09]

Bài 5:  Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .

 

 

Đặt $ x_n =\frac{a_n}{n}$

$\Rightarrow x_{n+1} -x_n =-2 .\frac{1}{n(n+1)}$
$\Rightarrow x_{n+1} -x_1 =-2( -\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n-1} - ,... +1) =-2(1-\frac{1}{n+1}) =-2\frac{n}{n+1}$

$\Rightarrow a_{n+1} =a(n+1) -2n$

Nếu $a >2$ thì lim $a_n = +\infty$

nếu $a<2$ thì lim$ a_n$ = - \infty$

$\Rightarrow  a= 2$ và lim $a_n =2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-11-2014 - 09:08
Latex

[chardhdmovies]

Bài 7: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

$(x+y+z)^2.\left [ \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2} \right ]$

đặt biểu thức là $P$

không mất tính tổng quát giả sử $x>y>z\geq 0$

đặt $x-y=a,y-z=b\Rightarrow z-x=-(a+b)$ với $a,b>0$

ta có $(x+y+z)^2\geq (x+y)^2=\left [ (z+a+b)+(z+b) \right ]^2\geq (a+2b)^2$

ta cần tìm giá trị nhỏ nhất $P=(a+2b)^2\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2} \right )$

đặt $t=\frac{a}{b}>0\Rightarrow P=\left ( 1+\frac{2}{t} \right )^2+(t+2)^2+\left ( 1+\frac{1}{t+1} \right )^2$

tới đây xét hàm ta được $P\geq 9+6\sqrt{3}$ khi $t=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$

vậy $P_{min}=9+6\sqrt{3}$

dấu bằng xảy ra khi $\boxed{(x,y,z)\sim \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2};1;0 \right )}$ và các hoán vị

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 04-11-2014 - 19:04

[Hoang Tung 126]

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy$ với mọi $x,y \in \mathbb{R} $.

 

 

   Còn mỗi bài này, ý tưởng là thế này

 

- Thay $y$ bởi $f(y)= > f(f(x)+f(y))=f(x)f(f(y))+f(f(x))+f(f(y))-xf(y)$   (1)

 

- Đổi vai trò của $x,y= > f(f(y)+f(x))=f(y)f(f(x))+f(f(y))+f(f(x))-yf(x)$   (2)

 

-Từ (1),(2) $= > f(x)f(f(y))-xf(y)=f(y)f(f(x))-yf(x)= > f(x)(f(f(y))+y)=f(y)(f(f(x))+x)= > \frac{f(f(x))+x}{f(x)}=\frac{f(f(y))+y}{f(y)}=c= > f(f(x))=cf(x)-x$

[tohoproirac]

Bài 8: (TST Hải Dương) 

 Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.

 

P/s: góp vui 

[namcpnh]

Cảm ơn tohoproiac rất nhiều, tiếp theo sẽ là 1 bài Đa thức:

 

Bài 9: Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên sao cho đa thức $P(x^{3})+xQ(x^{3})$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $P(k),Q(k)$ $(k\in \mathbb{N}^*)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $k-1$ .

 

LỜI GIẢI

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-11-2014 - 11:35

[Mikhail Leptchinski]

Bài 10:(Đề thi trại hè hùng vương 2014)

Chứng minh rằng:tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số có thể biểu diễn dưới dạng $\left | 7x^2+9xy-5y^2 \right |$($a,b\in R$)

Mọi người xem tại đây

[Hoang Tung 126]

   Mình cũng xin góp 1 bài :

 

 Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ ,$f(0)=0,f(1)=2014$ thỏa mãn:

 

     $(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ với mọi số thực $x,y$

 

@supermember: Nam quăng vào vài bài lý thuyết đồ thị cho nó mới.

Tạm thời dừng ở con số 13 bài đã, không post thêm, chừng nào gỉai xong thì mới đưa đề mới

@LNH: em post 1 bài mới nhé :v

@namcpnh: Lý thuyết đồ thị phải để Hoàn lo anh oh, em chỉ chuyên về mấy cái Giải tích thôi, anh cũng tham gia góp bài đi. Mà em thấy mấy bài trên giải gần hết rồi mà, cứ đăng bài đi, khi nào số bài chưa giải quá nhiều em sẽ thông báo nghĩ đăng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-11-2014 - 19:45

[LNH]

Hưởng ứng vài bài lí thuyết đồ thị

Bài 12: Cho một ngôi trường có $n$ khóa học và $n$ học sinh. Các học sinh đăng kí vào lớp học, không có $2$ học sinh nào tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau. CMR: ta có thể đóng cửa một khoá học sao cho vẫn không có hai học sinh nào tham gia các khoá học hoàn toàn going nhau.

Bài 13: Cho $35$ người đi dự một buổi họp. Có tất cả $112$ căp hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại $4$ người $a,b,c,d$ sao cho $a$ quen $b$, $b$ quen $c$, $c$ quen $d$ và $d$ quen $a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 13-11-2014 - 19:30

[Tru09]

   Mình cũng xin góp 1 bài :

 

 Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ ,$f(0)=0,f(1)=2014$ thỏa mãn:

 

     $(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ với mọi số thực $x,y$

 

@supermember: Nam quăng vào vài bài lý thuyết đồ thị cho nó mới.

Tạm thời dừng ở con số 13 bài đã, không post thêm, chừng nào gỉai xong thì mới đưa đề mới

@LNH: em post 1 bài mới nhé :v

Bài 11 :

$y:=0 \Rightarrow xf(f(x)^2) =f(x)^3$

Thay lại $\Rightarrow (x-y)(\frac{f(x)^3}{x} -\frac{f(y)^3}{y}) =f(x)^3 +f(y)^3 -f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow \frac{x}{y} f(y)^3 +\frac{y}{x} f(x)^3 =f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow f(y)^2(\frac{x}{y} f(y) -f(x)) =f(x)^2 (f(y) -\frac{y}{x} f(x))$

$y:=1 \Rightarrow f(1)^2 (xf(1) -f(x)) =f(x)^2(f(1)x -f(x)) \frac{1}{x}$

$\Rightarrow (xf(1) -f(x))(f(x)^2-f(1)^2x) =0 \forall x \neq 0$

Như vậy với x < 0 thì f(x) =2014x

Mà $xf(f(x)^2) =f(x)^3 \forall x$

cho $x <0 \Rightarrow 2014^3x^3 =f(x)^3 \Rightarrow 2014x=f(x) \forall x <0$

Do đó $f(x) =2014x$

--------------

Bài PTH đầu có thể đếm = 2 cách đại lượng f(y+f(z) +f(x))

Sau đó so sánh ra được

$f(f(x)).f(z) -xyf(z) -zf(x)=f(x)f(f(z)) -yzf(x) -xf(z)$

Thay $y =1 \Rightarrow \frac{f(f(x))}{f(x)} =\frac{f(f(z))}{f(z)} $

$\Rightarrow f(f(x)) =kf(x)$

thay lại hệ thức $f(f(x)) =a f(x) -x$ thì ta có ngay f(x) là hàm bậc nhất

Thay vào đề bài ta có dpcm 

[Hoang Tung 126]

  Bài 14 : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$

 

          $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x$

[Juliel]

  Bài 14 : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$

 

          $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x\;\;\;(1)$

Lời giải :

Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=2a$. Trong $(1)$ cho $x=0,y=a$ được $f(a)=0$. Vậy $2a=f(a)=0$. Suy ra $a=0$. Tức là $f(0)=0$. Từ đó trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(-y)=f(f(y)),\;\forall y\in \mathbb{R}\;\;\;(*)$$

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(f(x))=f(x)+f(-f(-x))+x=f(x)+f(f(f(-x)))+x=f(x)+f(f(f(f(x))))+x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra $f$ đơn ánh. Kết hợp với $(*)$ suy ra :

$$f(x)=-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

 

 

Bài 9: Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên sao cho đa thức $P(x^{3})+xQ(x^{3})$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $P(k),Q(k)$ $(k\in \mathbb{N}^*)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $k-1$ .

Lời giải :

Ta sử dụng tính chất $a-b \mid P(a)-P(b)$ với $a,b$ nguyên.

Ta có :

$$x^2+x+1\mid P(x^3)+xQ(x^3)=P(x^3)-P(1)+x\left ( Q(x^3)-Q(1) \right )+xQ(1)+P(1)$$

Dễ có :

$$x^2+x+1\mid x^3-1\mid P(x^3)-P(1)$$

$$x^2+x+1\mid x^3-1\mid P(x^3)-P(1)$$

Suy ra :

$$x^2+x+1\mid P(1)+xQ(1)$$

Mà $\deg(P(1)+xQ(1)) < \deg(x^2+x+1)$ nên phải có $P(1)+xQ(1)\equiv 0\Rightarrow P(1)=Q(1)=0$

Vậy ta đặt :

$$P(x)=(x-1)U(x),Q(x)=(x-1)V(x)$$

Suy ra $k-1 \mid P(k)$ và $k-1\mid Q(k)$. Do vậy $k-1 \mid d=\gcd(P(k),Q(k)$. 

 

@namcpnh: Tốt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-11-2014 - 21:44

[Hoang Tung 126]

  Bài 16: Cho $A,B,C$ là 3 góc của một tam giác. CMR:

 

    $cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{B-C}{2}+cos\frac{C-A}{2}\geq sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}+sin\frac{3C}{2}$

 

 

p/s :Tự chế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 07-11-2014 - 21:31

[Juliel]

Bài 17 : 

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố $(p,q,r)$ thoả :

$$(p^2-7)(q^2-7)(r^2-7)$$

là một số chính phương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-12-2014 - 00:05

[Hoang Tung 126]

Thêm một bài nữa.....

 

  Bài 18: Cho $a,b,c> 0,n$ là số nguyên dương. CMR:

 

     $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[n]{\frac{a^{n}+b^{n}}{2}}+\sqrt[n]{\frac{b^{n}+c^{n}}{2}}+\sqrt[n]{\frac{c^{n}+a^{n}}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 07-11-2014 - 23:40

[Tru09]

Nếu được đăng thì cho em đăng 1 bài số nhé

Bài 17 : 

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố $(p,q,r)$ thoả :

$$(p^2-7)(q^2-7)(r^2-7)$$

là một số chính phương 

Bài 17

$p^2 -7 \equiv p^2 +1 mod 4$

Nên nếu cả 3 số p,q,r đều k là 2 thì $x^2 =(p^2 -7)(q^2 -7)(r^2 -7) \vdots 8$  và không chia hết cho 16 (vô lý )

Nếu có 1 số là 2 (Giả sử là p ) $\Rightarrow x^2 =-3(q^2 -7)(r^2 -7)$ nên tồn tại đúng 1 số trong q ,r là 2 để VP >0

Giả sử  là $q=2 và r \neq 2 \Rightarrow x^2 =9(r^2 -7)$

$\Rightarrow r^2 - 7 \vdots 2$ mà không chia hết cho 4

$\Rightarrow$ vô lý

Vậy không tồn tại bộ 3 số nguyên tố (p ,q,r) nào thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 07-11-2014 - 23:41